# 崁套對沖場論：數學驗證文件
## Mathematical Verification: Nested Hedge Field Framework
**EveMissLab EML-STM-2026-v0.2 · Neo.K / Theia**

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## 定義前置

設 G = (V, E) 為有限連通無向圖，N(v) 為 v 的鄰居集，deg(v) = |N(v)|。

**Graph Laplacian 調和函數（GL-Harmonic）**：函數 φ: V → ℝ 若對所有內部節點 v（非邊界）滿足

$$\phi(v) = \frac{1}{\deg(v)} \sum_{w \in N(v)} \phi(w)$$

則稱 φ 為圖上的調和函數。給定邊界條件 φ(s) = 1，φ(e) = 0，由連通性知解唯一存在。記此解為 φ_{s→e}。

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## 定理 1：互補性（Complementarity）

**命題**：φ_{s→e}(v) + φ_{e→s}(v) = 1 對所有 v ∈ V 成立。

**證明**：

設 φ = φ_{s→e}，定義 ψ = 1 − φ。驗證 ψ 滿足邊界條件及內部方程：

*邊界條件*：
$$\psi(s) = 1 - \phi(s) = 1 - 1 = 0, \quad \psi(e) = 1 - \phi(e) = 1 - 0 = 1$$

因此 ψ 的邊界條件為 ψ(e) = 1，ψ(s) = 0，即 φ_{e→s} 的邊界條件。

*內部方程*：對任意內部節點 v，
$$\psi(v) = 1 - \phi(v) = 1 - \frac{1}{\deg(v)}\sum_{w \in N(v)}\phi(w)$$
$$= \frac{1}{\deg(v)}\sum_{w \in N(v)}(1 - \phi(w)) = \frac{1}{\deg(v)}\sum_{w \in N(v)}\psi(w)$$

故 ψ 滿足 GL-Harmonic 方程，且邊界條件與 φ_{e→s} 一致。由唯一性，ψ = φ_{e→s}。

即 φ_{e→s} = 1 − φ_{s→e}，故 φ_{s→e} + φ_{e→s} = 1。□

**推論 1.1（張力場單次計算）**：

$$T(v) = \phi_{A \to B}(v) - \phi_{B \to A}(v) = \phi_{A \to B}(v) - (1 - \phi_{A \to B}(v)) = 2\phi_{A \to B}(v) - 1$$

僅需一次 GL-SOR 求解，計算量減半。

**推論 1.2（隨機遊走解釋）**：

φ_{s→e}(v) = P(從 v 出發的簡單隨機遊走首先到達 s，而非 e)

由此 φ_{s→e}(v) + φ_{e→s}(v) = 1 即是機率完備性：從 v 出發，必然先到達 s 或先到達 e，兩者互為對立事件。□

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## 定理 2：路徑線性衰減（Linear Decay on Path）

**命題**：設 G 為路徑圖 s = v₀ − v₁ − ... − v_n = e（相鄰節點間有且僅有一條邊）。則

$$\phi_{s \to e}(v_k) = 1 - \frac{k}{n}, \quad k = 0, 1, ..., n$$

**證明**：

*邊界條件驗證*：φ(v₀) = 1 - 0/n = 1 = φ(s) ✓，φ(v_n) = 1 - n/n = 0 = φ(e) ✓

*內部節點驗證*：對 k ∈ {1, ..., n−1}，N(v_k) = {v_{k-1}, v_{k+1}}，deg(v_k) = 2，

$$\frac{1}{\deg(v_k)}\sum_{w \in N(v_k)}\phi(w) = \frac{\phi(v_{k-1}) + \phi(v_{k+1})}{2}$$
$$= \frac{(1 - \frac{k-1}{n}) + (1 - \frac{k+1}{n})}{2} = \frac{2 - \frac{2k}{n}}{2} = 1 - \frac{k}{n} = \phi(v_k) \checkmark$$

由唯一性，此線性插值即為唯一解。□

**推論 2.1（一般迷宮路徑）**：

在迷宮中，從 s 到 e 的唯一路徑（perfect maze 保證唯一性）上，φ 值以接近線性的速度從 1 遞減至 0。偏差來自分叉口對場值的「拉扯」效應，但主路徑的單調性由最大值原理保證。

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## 定理 3：死巷平台性質（Dead-End Plateau）

**命題**：設 v 為死巷（dead-end）節點，即 N(v) = {j}（僅與分支口 j 相連）。則 φ(v) = φ(j)。

**證明**：

$$\phi(v) = \frac{1}{\deg(v)}\sum_{w \in N(v)}\phi(w) = \frac{\phi(j)}{1} = \phi(j)$$

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**推論 3.1（φ-BFS 不進入死巷）**：

在 φ 嚴格遞增的路徑方向上，φ(j) 對應路徑下一步（假設 j 在路徑上），而 φ(v) = φ(j) 對死巷 v。

φ-BFS 從 e 出發，在分支口 j 處，路徑方向的鄰居 j' 滿足 φ(j') > φ(j)（路徑單調性），而死巷 v 滿足 φ(v) = φ(j) < φ(j')。

φ-BFS 優先展開 φ 值最高的節點，因此 j' 先於 v 被展開，死巷不影響路徑主幹。□

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## 命題 4：張力場 T 的幾何意義

**命題**：T(v) = 0 等價於 v 在 A 和 B 的隨機遊走意義下等距，即 φ_{A→B}(v) = 1/2。

**證明**：

T(v) = 2φ_{A→B}(v) − 1 = 0 ⟺ φ_{A→B}(v) = 1/2

由隨機遊走解釋：φ_{A→B}(v) = 1/2 ⟺ P(RW from v → A first) = P(RW from v → B first)

即 v 在隨機遊走意義下對 A 和 B 等距。T = 0 的節點集構成圖上的 **Graph Voronoi Boundary**（廣義 Voronoi 圖邊界）。□

**推論 4.1**：Nash 均衡前線為 T = 0。若追逐者 A 在 T > 0 的區域，A 從圖拓撲上更接近 B；在 T < 0 的區域則 B 更佔優。

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## 命題 5：對沖場 H 非調和，且可能存在內部極值

**命題**：H(v) = φ_g(v) · (1 − φ_e(v)) 一般不是調和函數，且可存在局部最大值。

**證明（非調和性）**：

若 H 為調和函數，則對所有內部節點 v：

$$H(v) = \frac{1}{\deg(v)}\sum_{w \in N(v)} H(w)$$

然而 H = φ_g · (1 − φ_e) 是兩個調和函數的逐點乘積。一般而言，兩個調和函數的乘積不再是調和函數（除非兩者成比例或其中之一為常數）。

反例（三節點路徑）：設 G = g − m − e，φ_g(m) = 1/2，φ_e(m) = 1/2（由線性衰減）。

$$H(m) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$
$$\text{mean}(H(\text{neighbors})) = \frac{H(g) + H(e)}{2} = \frac{1 \cdot 0 + 0 \cdot 1}{2} = 0$$

H(m) = 1/4 ≠ 0 = mean of neighbors → H 不滿足調和方程。□

**內部極值的存在性構造**：

考慮以下圖（六節點）：

```
source=e          source=g
(threat)          (goal)
   e -------- j -------- g
               \
                b (bridge to safe zone)
                |
                f (far from both e and g)
```

設場邊界條件（目標場 φ_g 源於 g，匯於 e）：

若圖上存在節點 f，其 φ_g(f) 中等（f 不特別接近 g），且 φ_e(f) 極低（f 遠離 e），則 H(f) = φ_g(f) · (1 − φ_e(f)) ≈ φ_g(f) · 1 = φ_g(f)。

若 g 本身旁邊緊鄰 e（φ_e(g) 很高），則 H(g) = 1 · (1 − φ_e(g)) < 1。

可選取 φ_g(f) > H(g)，使得 H(f) > H(g)，即 H 在 f（非目標）處比在 g（目標）處更高。H 的全局最大值不在目標節點，而在「接近目標且遠離威脅」的中間節點。□

**實際意義**：φ-BFS 以 H 為優先函數仍保完備性（connected 圖上必能找到路徑），但因 H 非調和，H(g) 未必是全局最大值，φ-BFS 可能探索多餘節點。在威脅遠離目標的典型場景下，H(g) ≈ 1，此問題不顯著。

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## 定理 6：φ-BFS 在 H 場上的完備性

**命題**：設 G 為有限連通圖，H: V → [0, ∞)，起點 s，目標 g。φ-BFS 保證在有限步內找到從 s 到 g 的路徑。

**證明（非正式）**：

φ-BFS 是 BFS 的優先佇列變體。每個可通行節點最多被訪問一次（visited 集合確保）。由 G 連通性，BFS 在訪問所有可達節點後必訪問 g。優先函數 H 僅影響節點展開順序，不影響完備性。□

**注意**：完備性不等於最優性。H 場引導的路徑可能長於 A* 最優路徑（因繞避威脅）。路徑品質由安全得分 S = (1/|path|)·Σ_{v∈path}(1−φ_e(v)) 衡量（越高越安全）。

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## 數值驗證指標（Empirical Verification Metrics）

以下指標由算法驗證工具（互動式 widget）計算：

| 指標 | 定義 | 預期值 |
|------|------|--------|
| E₁：互補性誤差 | max_v \|φ_A(v) + φ_B(v) − 1\| | < 1e-4（SOR 收斂後） |
| E₂：死巷平台誤差 | max_{dead-end d} \|φ(d) − φ(junction(d))\| | < 1e-5 |
| E₃：T 前線寬度 | \|{v : \|T(v)\| < 0.01}\| / \|V\| | 應為薄帶狀（< 5%） |
| E₄：H 非調和節點比 | \|{v : \|H(v) − mean_H(N(v))\| > 0.01}\| / \|passable\| | > 0（必然存在） |
| E₅：對沖路徑安全增益 | S_hedge / S_astar | 應 > 1（對沖更安全） |
| E₆：路徑長度代價 | \|P_hedge\| / \|P_astar\| | 可能 > 1（繞路代價） |

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*本文件為理論框架的形式驗證部分，實驗數值見對應的互動驗證工具。*
*EML-STM-2026-v0.2 · EveMissLab Working Paper*