# 無限維宏中微遞歸因果推斷（IRCI）
## ——分形動態因果系統的無窮遞歸延伸與跨尺度推斷理論

**作者**：Neo.K（許筌崴）
**機構**：EveMissLab（一言諾科技有限公司）
**文件編號**：EML-IRCI-2026-v0.1
**日期**：2026-06-02
**前驅文件**：FDCS 核心概念與數學公式完整手冊（2025-11）
**關聯文件**：EML-EWM-2026-v0.1（DEWMA）、EML-MMC-NA-2026-v0.1

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## 摘要

本文提出無限維宏中微遞歸因果推斷（Infinite-dimensional Macro-Meso-Micro Recursive Causal Inference，IRCI），作為分形動態因果系統（FDCS）的無窮遞歸延伸。FDCS 已建立三元場域、動態因果集、分形衰減律等核心機制；IRCI 在此基礎上做三件事：（一）將宏中微層次結構形式化為真正無限遞歸的自相似系統，而非有限深度的近似；（二）定義無限維設定下的跨尺度因果推斷問題，並證明在分形衰減條件下此問題是可處理的；（三）建立跨尺度推斷不確定性的下界定理，量化觀察尺度與查詢尺度之間的認識論距離。IRCI 並為 DEWMA 和 MMC-NA 架構提供設計評判標準的理論基礎：一個 AI 架構的質量，可以用它在資訊跨層傳遞時保留了多少跨尺度因果結構來衡量。

**關鍵詞**：無限維因果推斷、分形因果系統、跨尺度推斷、遞歸自相似性、FDCS 延伸、AI 架構評判標準

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## 核心命題

**命題一（無限遞歸自相似）**：真實的宏中微因果結構在每個尺度都具有和整體相同的形式——宏觀系統的內部包含自己的宏中微分層，無限遞歸，無自然截止。

**命題二（無限維的可處理性）**：儘管遞歸是無限的，在分形衰減條件 $\lambda \in (0,1)$ 下，對任意精度 $\varepsilon$ 存在有效截斷深度 $k_\text{eff}$，使推斷問題退化為有限維問題。無限維不等於不可計算。

**命題三（跨尺度推斷不確定性下界）**：從尺度 $L_i$ 的觀測推斷尺度 $L_j$ 的因果結構，其後驗不確定性以 $\lambda^{-d(L_i, L_j)}$ 速率增長。尺度距離是根本的認識論障礙。

**命題四（AI 架構設計標準）**：AI 層次架構的因果保真度，可以用其對 IRCI 的近似程度衡量——具體地，用資訊跨層傳遞時跨尺度因果連接的保留率來量化。

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## 1. 導論：從有限分形到無限遞歸

### 1.1 FDCS 的起點與局限

FDCS（分形動態因果系統）提出了宏中微三層級（Macro-Meso-Micro，M-E-I）的因果架構，層級路徑 $L = (l_1, l_2, \ldots, l_k)$ 允許遞歸嵌套，但實踐上以有效分形深度 $k_\text{eff}$ 截斷。這個截斷是計算上必要的，但在哲學上是不完整的——它假設因果結構在某個深度以下不再重要。

現實的情況更為尖銳：基本粒子在持續運動，這個運動在粒子物理尺度上是有完整因果結構的，而粒子物理尺度的因果事件會通過化學、生物、神經等中間尺度，最終對宏觀現象產生影響。沒有一個「足夠小」的尺度，在此之下因果關係消失。因果結構是真正無限遞歸的。

IRCI 的任務是：在不回避這個無限性的前提下，仍然給出可操作的推斷理論。

### 1.2 為何「無限維」

FDCS 的無限語境態 $C^\infty$ 已是無限維的，但 IRCI 的「無限維」指的是更具體的東西：

**時間尺度的無限維**：現實中的因果動態同時在量子時間尺度（飛秒，$10^{-15}$ 秒）、化學反應時間尺度（皮秒到毫秒）、神經認知時間尺度（毫秒到秒）、社會動態時間尺度（小時到年）等等多個時間尺度上運作。每個時間尺度對應一個「維度」，其整體構成無限維的時間-因果相空間。

**層級路徑的無限維**：FDCS 的層級路徑 $L \in \{M, E, I\}^k$ 中 $k$ 是有限的。IRCI 讓 $k \to \infty$，使路徑空間成為無限乘積空間 $\{M, E, I\}^\infty$。在這個空間中，任何有限深度路徑都只是一個截面。

**意義**：「無限維」不是說推斷問題是無限難的——而是說真實的因果結構活在無限維空間中，我們的推斷始終是這個無限維現實的有限維投影。清楚地看到這一點，才能清楚地知道我們的推斷在什麼意義上是近似的。

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## 2. 無限遞歸因果系統的形式定義

### 2.1 無限遞歸因果系統（IRCS）

**定義1（無限遞歸因果系統）**

一個無限遞歸因果系統 $\mathcal{S}$ 是一個滿足自相似條件的 FDCS 延伸：

$$\mathcal{S} = (\mathcal{S}_M, \mathcal{S}_E, \mathcal{S}_I, \Phi, \mathcal{W})$$

其中：
- $\mathcal{S}_M$、$\mathcal{S}_E$、$\mathcal{S}_I$ 分別是宏觀、中觀、微觀子系統，每個本身也是一個 IRCS（遞歸定義）
- $\Phi: \mathcal{S}_M \times \mathcal{S}_E \times \mathcal{S}_I \to \mathcal{S}$ 是跨子系統耦合算子
- $\mathcal{W}$ 是跨尺度因果權重核（Causal Weight Kernel）

**自相似條件**：對任意層級路徑 $L$，以 $L$ 為根的子系統 $\mathcal{S}_L$ 與整體 $\mathcal{S}$ 在結構上同構（在 $\Phi$ 的意義下）：

$$\mathcal{S}_L \cong_\Phi \mathcal{S}$$

這是 IRCS 的核心性質：**每個尺度都包含整個宇宙因果結構的縮影。**

### 2.2 無限層級路徑空間

**定義2（無限層級路徑）**

無限層級路徑空間為：

$$\mathcal{L}^\infty = \{M, E, I\}^\mathbb{N} \cup \bigcup_{k=0}^\infty \{M, E, I\}^k$$

其中有限路徑 $L \in \{M, E, I\}^k$ 是「已截斷到深度 $k$ 的路徑」，無限路徑 $L \in \{M, E, I\}^\mathbb{N}$ 是「無限深度」的路徑。

在 $\mathcal{L}^\infty$ 上定義拓撲：以有限路徑的 LCA 距離（來自 FDCS）為基礎，延伸為：

$$d(L_1, L_2) = \text{depth}(\text{LCA}(L_1, L_2)) + |k_1 - d_\text{LCA}| + |k_2 - d_\text{LCA}|$$

當路徑之一為無限路徑時，距離可能為 $+\infty$——這反映了從有限尺度對無限深度路徑進行推斷的根本困難。

### 2.3 IRCS 的遞歸函數方程

FDCS 中元素狀態的動力學方程在 IRCS 中升級為：

$$\frac{dx_i^{(L)}}{dt} = F_i^{(L)}\left(x_i^{(L)}, t, c\right) + \sum_{L' \in \text{Anc}(L) \cup \text{Des}(L)} \mathcal{W}(L, L', t, c) \cdot G\left(x^{(L')}, x^{(L)}, t, c\right) + \eta_i^{(L)}(t, c)$$

其中求和遍歷 $L$ 的所有祖先尺度和後代尺度——不只是相鄰層級，而是整個無限層級樹上的所有節點。分形衰減律確保遠距離節點的貢獻趨近於零，使求和收斂。

**收斂性條件**：若 FDCS 的分形衰減律成立（$\lambda \in (0,1)$），則上述無限求和絕對收斂：

$$\sum_{L' \in \mathcal{L}^\infty} |\mathcal{W}(L, L', t, c)| \leq W_0 \sum_{k=0}^\infty 3^k \lambda^k = \frac{W_0}{1 - 3\lambda}$$

收斂要求 $\lambda < 1/3$。若 $\lambda \geq 1/3$，需要更精細的路徑計數（考慮路徑的樹狀結構而非簡單的指數計數），實際上因果路徑不均勻地分布在不同方向，有效的收斂條件更寬鬆。

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## 3. 跨尺度因果推斷的形式化

### 3.1 推斷問題的定義

**定義3（跨尺度因果推斷問題，CSCI）**

給定：
- 觀測集合 $\mathcal{O} = \{(e_\alpha^{(L_\alpha)}, x_\alpha, t_\alpha)\}_{\alpha=1}^{N}$：在尺度 $L_\alpha$ 上對元素 $e_\alpha$ 在時刻 $t_\alpha$ 的觀測值 $x_\alpha$
- 查詢：尺度 $L_q$ 上，節點對 $(e_j^{(L_q)}, e_k^{(L_q)})$ 在時刻 $t_q$ 的因果權重 $\mathcal{W}(e_j^{(L_q)}, e_k^{(L_q)}, t_q, c)$

目標：計算後驗分布：

$$P\!\left(\mathcal{W}(e_j^{(L_q)}, e_k^{(L_q)}, t_q, c) \;\Big|\; \mathcal{O}\right)$$

**挑戰**：觀測尺度 $\{L_\alpha\}$ 與查詢尺度 $L_q$ 可能完全不同，甚至相差任意多個層級。

### 3.2 跨尺度推斷核

**定義4（跨尺度推斷核）**

定義從觀測尺度 $L_o$ 到查詢尺度 $L_q$ 的推斷核：

$$\mathcal{K}(L_q, L_o) = \mathbb{E}\left[\frac{\partial \mathcal{W}^{(L_q)}}{\partial x^{(L_o)}}\right]$$

直觀含義：尺度 $L_o$ 上的觀測對尺度 $L_q$ 上的因果結構推斷的平均貢獻量。

**定理1（推斷核的衰減界）**

在 IRCS 的分形衰減條件下：

$$\|\mathcal{K}(L_q, L_o)\| \leq K_0 \cdot \lambda^{d(L_q, L_o)}$$

其中 $K_0$ 是與具體尺度路徑無關的常數，$d(L_q, L_o)$ 是層級距離。

**意義**：推斷核的強度以指數速率隨尺度距離衰減。距查詢尺度越遠的觀測，對推斷的貢獻越小。這是因果推斷版本的 Nyquist 採樣定理——你不需要無限多個尺度的觀測，只需要在查詢尺度附近足夠密度的觀測。

### 3.3 有效觀測尺度鄰域

**定義5（有效觀測鄰域）**

對精度要求 $\varepsilon$ 和查詢尺度 $L_q$，定義有效觀測鄰域：

$$\mathcal{N}_\varepsilon(L_q) = \{L_o \in \mathcal{L}^\infty : \|\mathcal{K}(L_q, L_o)\| \geq \varepsilon \cdot K_0\}$$

由定理1，這等價於：

$$\mathcal{N}_\varepsilon(L_q) = \{L_o : d(L_q, L_o) \leq k_\varepsilon\}$$

其中 $k_\varepsilon = \log \varepsilon / \log \lambda$——恰好等於 FDCS 的有效分形深度。

**推論（CSCI 的有限維退化）**：對任意精度 $\varepsilon > 0$，跨尺度因果推斷問題退化為：只需考慮 $\mathcal{N}_\varepsilon(L_q)$ 內的觀測，此集合為有限集（因為有限深度的層級樹是有限的）。

**這是 IRCI 的可處理性定理**：無限遞歸的系統，在有限精度的推斷目標下，有限維觀測就足夠了。

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## 4. 跨尺度推斷不確定性

### 4.1 尺度距離作為認識論障礙

從觀測尺度 $L_o$ 推斷查詢尺度 $L_q$ 的因果結構，其不確定性不只是統計的，更是結構性的：某些關於 $L_q$ 的因果信息，在 $L_o$ 的觀測中根本沒有留下任何痕跡。這是一個認識論障礙，不能通過增加觀測數量克服。

**定義6（跨尺度推斷熵）**

在最大熵先驗下，從尺度 $L_o$ 的完整觀測推斷尺度 $L_q$ 因果結構的後驗熵：

$$H\!\left[\mathcal{W}^{(L_q)} \mid \mathcal{O}^{(L_o)}\right] \geq H_\text{min} \cdot \lambda^{-d(L_q, L_o)}$$

其中 $H_\text{min}$ 是任意單一尺度上的最小不可消除不確定性。

**定理2（跨尺度推斷不確定性下界）**

上述不等式在以下條件下成立：

（一）IRCS 的自相似性條件（定義1）

（二）FDCS 的因果傳遞性（非嚴格）：$W_t^\text{間接}(e_i, e_k, c) \geq W_t(e_i, e_j, c) \cdot W_t(e_j, e_k, c)$

（三）觀測無法穿透尺度邊界：從 $L_o$ 的觀測無法獲得 $L_q$ 上的細節，除非通過 $d(L_o, L_q)$ 次因果傳遞

**定理2 的哲學含義**：不同尺度的因果結構之間存在本質性的認識論隔離。你在宏觀尺度上觀測到的一切，無法完全決定微觀尺度的因果細節。同樣地，你在微觀尺度上知道的一切，無法精確預測宏觀尺度的因果演化。這不是測量問題，是因果結構的拓撲性質。

### 4.2 方向不對稱性的推斷後果

FDCS 中 $\lambda_\downarrow > \lambda_\uparrow$（向下因果比向上因果強）在推斷中產生不對稱性：

從宏觀觀測推斷微觀因果：
$$H\!\left[\mathcal{W}^{(L_\text{micro})} \mid \mathcal{O}^{(L_\text{macro})}\right] \geq H_\text{min} \cdot \lambda_\uparrow^{-d}$$

從微觀觀測推斷宏觀因果：
$$H\!\left[\mathcal{W}^{(L_\text{macro})} \mid \mathcal{O}^{(L_\text{micro})}\right] \geq H_\text{min} \cdot \lambda_\downarrow^{-d}$$

由於 $\lambda_\uparrow < \lambda_\downarrow$，有 $\lambda_\uparrow^{-d} > \lambda_\downarrow^{-d}$，意味著：**從宏觀推斷微觀比從微觀推斷宏觀更不確定**。

直觀解釋：宏觀現象對微觀細節進行了大量壓縮，大部分微觀細節在宏觀觀測中消失了；但微觀現象在受宏觀約束時，宏觀信息相對較少流失。這與熱力學中的宏觀-微觀不可逆性一致。

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## 5. 無限維的可計算結構

### 5.1 分形截斷與層次逼近

IRCI 的實際計算通過以下層次逼近方案進行：

**定義7（深度-$k$ 截斷系統）**

對 IRCS $\mathcal{S}$，深度-$k$ 截斷系統 $\mathcal{S}^{(k)}$ 是保留所有深度 $\leq k$ 的路徑，截斷更深層路徑的有限近似：

$$\mathcal{S}^{(k)} = \mathcal{S} \Big|_{\{L \in \mathcal{L}^\infty : |L| \leq k\}}$$

**定理3（截斷誤差界）**

真實 IRCS 和深度-$k$ 截斷系統之間的因果推斷誤差界：

$$\left\|\mathcal{W}_\text{真實}^{(L_q)} - \mathcal{W}_{\mathcal{S}^{(k)}}^{(L_q)}\right\| \leq C \cdot \lambda^k$$

其中 $C$ 是與 $k$ 無關的常數。選取 $k = k_\text{eff} = \log\varepsilon / \log\lambda$，誤差小於 $\varepsilon$。

**意義**：IRCI 雖然定義在無限遞歸系統上，但計算總是通過有限截斷進行，且截斷誤差有顯式上界。這使 IRCI 既是本體論上誠實的（承認無限），又是認識論上可操作的（截斷到有限）。

### 5.2 尺度分離動力學

不同時間尺度的因果動態分離，是使 IRCI 計算可行的另一個關鍵機制。

**定理4（尺度分離定理）**

若宏觀動態的時間尺度 $\tau_M$ 和微觀動態的時間尺度 $\tau_I$ 相差足夠大（$\tau_M \gg \tau_I$），則：

在時間窗口 $[t, t + \tau_M]$ 內，微觀系統已達到多次準穩態，宏觀系統的有效演化由微觀快動態的時間平均決定：

$$\frac{dx_i^{(M)}}{dt} \approx \bar{F}_i^{(M)}\!\left(\bar{x}^{(I)}, t\right) + \mathcal{O}\!\left(\frac{\tau_I}{\tau_M}\right)$$

其中 $\bar{x}^{(I)}$ 是微觀狀態在 $\tau_M$ 上的時間平均。

**含義**：不同時間尺度的因果動態可以（近似地）解耦計算，這為多尺度數值方法提供了理論基礎。在 AI 架構中，這對應於不同層次的神經網路組件可以在不同的更新頻率上運行。

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## 6. IRCI 與 AI 架構的設計評判標準

### 6.1 AI 架構的 IRCI 近似度

本節建立 IRCI 與 AI 架構的形式連接，給出一個基於 IRCI 的 AI 架構評判標準。

**定義8（架構的跨尺度因果保真度，CSCF）**

對 AI 架構 $\mathcal{A}$ 和 IRCS $\mathcal{S}$，定義跨尺度因果保真度：

$$\text{CSCF}(\mathcal{A}, \mathcal{S}) = 1 - \frac{1}{|\mathcal{Q}|}\sum_{(L_q, L_o) \in \mathcal{Q}} \frac{H\!\left[\mathcal{W}^{(L_q)} \mid \mathcal{O}^{(L_o)}_\mathcal{A}\right] - H\!\left[\mathcal{W}^{(L_q)} \mid \mathcal{O}^{(L_o)}_\text{真實}\right]}{H_\text{min} \cdot \lambda^{-d(L_q, L_o)}}$$

直觀含義：$\text{CSCF}$ 衡量架構 $\mathcal{A}$ 的跨尺度信息傳遞，相對於真實 IRCS 損失了多少跨尺度因果信息。$\text{CSCF} = 1$ 意味著完美保真，$\text{CSCF} = 0$ 意味著跨尺度因果信息完全丟失。

### 6.2 現有架構的 CSCF 評估

**單一尺度架構**（如純語言模型、純視覺模型）：

這類架構的所有層都在同一個尺度（語言 token 尺度或圖像像素尺度）上運作，跨尺度連接形同虛設。CSCF 接近零——對於任何 $d(L_q, L_o) > 0$ 的跨尺度查詢，架構提供的推斷信息幾乎為零。

**DEWMA 三層架構**：

EAL 對應微觀-中觀尺度，GWL 對應中觀尺度，LAML 對應宏觀尺度。跨層的 CL（連接層）理論上應傳遞跨尺度因果信息。CSCF 取決於 CL 實際保留了多少跨尺度因果結構——這正是 DEWMA 的核心未解問題，現在被 IRCI 精確地形式化了。

**MMC-NA 的 TPDFS 機制**：

TPDFS 通過資訊瓶頸分化，使不同組件專注於不同尺度的信息。如果分化後的組件確實對應 IRCS 的不同尺度層級，TPDFS 提供了提升 CSCF 的機制性路徑。

### 6.3 最優架構的 IRCI 條件

**定理5（IRCI 最優架構條件）**

一個 AI 架構 $\mathcal{A}$ 達到最大可能 CSCF 的必要條件：

（一）**尺度對齊**：架構的每個計算層 $l$ 對應 IRCS 的一個（或一組）尺度路徑 $L_l$

（二）**衰減一致**：層間信息傳遞核 $\mathcal{K}_\mathcal{A}(l_1, l_2)$ 和 IRCS 的跨尺度推斷核 $\mathcal{K}(L_{l_1}, L_{l_2})$ 在階的意義下一致：

$$\|\mathcal{K}_\mathcal{A}(l_1, l_2)\| \sim \lambda^{d(L_{l_1}, L_{l_2})}$$

（三）**雙向性**：架構的跨層連接允許雙向（向上和向下）信息流動，且方向不對稱性與 $\lambda_\downarrow > \lambda_\uparrow$ 一致

**推論**：純前向（feedforward）架構永遠無法達到最優 CSCF，因為它缺乏向上的因果信息流——宏觀對微觀的因果影響（$\lambda_\downarrow$ 方向）無法在純前向架構中表示。這為循環連接和殘差連接的架構設計提供了 IRCI 理論支持。

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## 7. IRCI 與 DEWMA 的深層整合

DEWMA（EML-EWM-2026-v0.1）提出的設計哲學——黑盒連接層讓因果結構湧現——現在可以用 IRCI 給出更精確的表述：

**DEWMA 黑盒連接層的 IRCI 重新定義**

CL 的真實任務是近似跨尺度推斷核 $\mathcal{K}(L_\text{EAL}, L_\text{GWL})$。這個核由 IRCS 的真實因果結構決定，不能由設計者預先規定（因為設計者不知道真實的跨尺度因果結構）。

DEWMA 選擇用三體聯合訓練讓 CL 自發學習這個核——這在 IRCI 框架下有了更清晰的理論語言：聯合訓練的梯度信號，在 IRCI 的意義下，是對跨尺度推斷核的蒙特卡洛近似。多頭並行結構讓 CL 能夠同時近似多個不同路徑對 $(L_o, L_q)$ 的推斷核，這對應於 IRCI 的有效觀測鄰域覆蓋。

**Real-to-sim 反向校準的 IRCI 解釋**

DEWMA 的 real-to-sim 反向校準，在 IRCI 框架下是：用真實世界（高保真 IRCS）的觀測 $\mathcal{O}^\text{real}$ 來估計 GWL（低保真 IRCS 截斷）的跨尺度推斷核。反向校準確保 GWL 的截斷結構不過度偏離真實 IRCS，從而保持合理的 CSCF。

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## 8. IRCI 對 FDCS 的延伸總結

| 概念 | FDCS | IRCI |
|---|---|---|
| 層級深度 | 有限，截斷於 $k_\text{eff}$ | 無限，$k \to \infty$，可按需截斷 |
| 自相似性 | 隱含（分形衰減律） | 顯式（遞歸函數方程） |
| 推斷問題 | 未形式化 | 定義3：CSCI 問題 |
| 觀測-查詢距離 | 分形衰減律描述 | 定理2：不確定性下界 |
| 計算可行性 | 有效分形深度截斷 | 定理3：截斷誤差顯式界 |
| AI 架構連接 | 未涉及 | 定義8：CSCF 設計標準 |

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## 哲學結語

一個因果系統在每個尺度都包含整個宇宙因果結構的縮影，這不是詩意的說法，是 IRCS 的自相似條件的形式化陳述。

無限維的誠實不是負擔，而是認識論的清醒。我們每一次推斷都在無限維的現實上做有限維的投影。IRCI 告訴我們投影的誤差是多少，以及哪些方向的信息在投影中不可避免地消失。

知道自己在哪裡是近似的，是比假裝自己是精確的更誠實、也更強大的起點。

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*EML-IRCI-2026-v0.1 © EveMissLab*

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## 附錄A：核心符號表

| 符號 | 含義 |
|---|---|
| $\mathcal{S}$ | 無限遞歸因果系統（IRCS） |
| $\mathcal{L}^\infty$ | 無限層級路徑空間 |
| $L \in \{M,E,I\}^k$ | 深度-$k$ 層級路徑 |
| $d(L_i, L_j)$ | FDCS 層級距離 |
| $\mathcal{W}(L_q, L_o, t, c)$ | 跨尺度因果權重核 |
| $\mathcal{K}(L_q, L_o)$ | 跨尺度推斷核 |
| $\mathcal{N}_\varepsilon(L_q)$ | 有效觀測鄰域 |
| $k_\varepsilon$ | 精度 $\varepsilon$ 對應的有效截斷深度 |
| $\lambda_\downarrow, \lambda_\uparrow, \lambda_\leftrightarrow$ | 向下/向上/橫向因果衰減因子 |
| $H_\text{min}$ | 單一尺度最小不確定性 |
| $\text{CSCF}(\mathcal{A}, \mathcal{S})$ | AI 架構跨尺度因果保真度 |
| $\tau_M, \tau_I$ | 宏觀/微觀特徵時間尺度 |