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-- FDRS.lean
-- 展平式維度重構理論 (FDRS) Lean 4 形式化驗證檔案
-- 一言諾科技 (EveMissLab) 2026年6月系列：EML-FDRS-2026-v2.0
-- 引入 Lean 4 核心庫中的 List（列表）模組，用以處理維度與奇異值列表的運算
import Init.Data.List
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-- 第一部分：輔助函數定義 (Helper Functions)
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-- 定義：計算自然數列表 (List Nat) 的總和
def sumNat : List Nat → Nat
| [] => 0 -- 空列表總和為 0
| x :: xs => x + sumNat xs -- 遞迴：將第一個元素與剩餘元素的總和相加
-- 定義：計算有理數列表 (List Rat) 的平方和 (即奇異值能量)
def sumSq : List Rat → Rat
| [] => 0 -- 空列表平方和為 0
| x :: xs => x * x + sumSq xs -- 遞迴：首個元素的平方 + 剩餘部分的平方和
-- 定義：計算有理數列表 (List Rat) 的一般累加和
def sumRat : List Rat → Rat
| [] => 0 -- 空列表總和為 0
| x :: xs => x + sumRat xs -- 遞迴：第一個元素 + 剩餘元素的和
-- 定義：將二維列表 (List (List α)) 展平為一維列表
def flatten {α : Type} : List (List α) → List α
| [] => [] -- 空的二維列表展平後仍為空
| x :: xs => x ++ flatten xs -- 遞迴：將第一個列表與剩餘列表展平後的結果串接 (++)
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-- 第二部分：核心結構定義 - FDRS 容許鏈複形 (FDRS Admissible Complex)
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### 定義 2.4: FDRS 容許鏈複形
此結構以各鏈群的維度大小 (dim) 與邊界算子的奇異值 (sing) 來代表整個鏈複形。
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structure FDRSComplex where
-- dim 代表各階鏈群的維度。dim[0] 為 C_0 維度，dim[1] 為 C_1 維度，依此類推。
dim : List Nat
-- sing 代表邊界算子的奇異值矩陣。
-- sing[i] 是邊界算子 \partial_{i+1} : C_{i+1} -> C_i 的所有奇異值列表。
sing : List (List Rat)
-- 容許條件 1：維度列表長度必須大於等於 1 (至少要有一個鏈群)
dim_pos : dim.length >= 1
-- 容許條件 2：奇異值列表的長度恰好比維度列表少 1 (邊界算子數等於維度數減 1)
sing_len : sing.length + 1 = dim.length
-- 容許條件 3：\partial_{i+1} 的奇異值個數，必須等於定義域 C_{i+1} 的維度
sing_shapes : ∀ i, (h : i < sing.length) → (sing.get ⟨i, h⟩).length = dim.get ⟨i + 1, by
have h1 : i + 1 < sing.length + 1 := Nat.add_lt_add_right h 1
rw [sing_len] at h1
exact h1
⟩
-- 容許條件 4：內射條件 (Injective)。\partial_k 為列滿秩 (單射)，代表高維自由度不高於低維：dim C_k <= dim C_{k-1}
injective_cond : ∀ i, (h : i < sing.length) → dim.get ⟨i + 1, by
have h1 : i + 1 < sing.length + 1 := Nat.add_lt_add_right h 1
rw [sing_len] at h1
exact h1
⟩ <= dim.get ⟨i, by
have h1 : i < sing.length + 1 := Nat.lt_trans h (Nat.lt_succ_self _)
rw [sing_len] at h1
exact h1
⟩
-- 容許條件 5：奇異值必須嚴格大於 0 (保證沒有隱性坍縮)
sing_pos : ∀ i, (h : i < sing.length) → ∀ val ∈ sing.get ⟨i, h⟩, val > 0
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-- 第三部分：連接算子與維度降解 (Dimension Reduction Operators)
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### 定義 3.5: 單步維度降解 $\Delta_1$ 的維度演化
消去最頂層維度，並將其折疊進下一層的商空間 (餘核構造)。
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def delta1Dim (dim : List Nat) : List Nat :=
match dim.reverse with
| [] => [] -- 若為空，返回空
| [_] => [] -- 若只剩一個，消去後為空
| cn :: cn1 :: rest => ((cn1 - cn) :: rest).reverse -- 將最頂層 cn 折疊，下一層減去 cn
-- 單步維度降解 $\Delta_1$ 的奇異值演化
def delta1Sing (sing : List (List Rat)) : List (List Rat) :=
match sing.reverse with
| [] => [] -- 若無奇異值，返回空
| _ :: rest => rest.reverse -- 丟棄最頂端的邊界算子奇異值
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多步維度降解 $\Delta_k$
-/
-- 維度演化的 k 步疊代
def deltaKDim (dim : List Nat) (k : Nat) : List Nat :=
match k with
| 0 => dim -- 0 步代表不變
| k' + 1 => delta1Dim (deltaKDim dim k') -- 遞迴：先降 k' 步，再降 1 步
-- 奇異值演化的 k 步疊代
def deltaKSing (sing : List (List Rat)) (k : Nat) : List (List Rat) :=
match k with
| 0 => sing -- 0 步代表不變
| k' + 1 => delta1Sing (deltaKSing sing k') -- 遞迴：先降 k' 步，再降 1 步
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-- 第四部分：信息失真算子 $\mathcal{D}$ (Information Distortion)
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### 定義 3.1: 單步信息失真算子
定義為被捨棄的最頂階邊界算子的奇異值能量，除以複形的總鏈維度。
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def distortion1 (H : FDRSComplex) : Rat :=
if h : H.sing.length > 0 then
let n := H.sing.length - 1
have hn : n < H.sing.length := Nat.sub_lt h (by decide)
let top_sing := H.sing.get ⟨n, hn⟩
sumSq top_sing / (sumNat H.dim : Rat)
else
0
-- 定義：計算前 k 步被捨棄的奇異值能量總和 (從列表末端取 k 個元素)
def sumTopKSq (sing : List (List Rat)) (k : Nat) : Rat :=
sumSq (flatten (sing.drop (sing.length - k)))
-- 定義：k 步維度降解的累積失真率
def distortionK (H : FDRSComplex) (k : Nat) : Rat :=
sumTopKSq H.sing k / (sumNat H.dim : Rat)
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-- 第五部分：輔助引理與代數定理證明
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-- 有理數輔助定理：分數的加法合併律 (a/c + b/c = (a+b)/c)
theorem Rat.add_div (a b c : Rat) : (a + b) / c = a / c + b / c := by
rw [Rat.div_def, Rat.div_def, Rat.div_def] -- 將除法展開為「乘以倒數 (x * y⁻¹)」
exact Rat.add_mul a b c⁻¹ -- 套用乘法對加法的右分配律，完成證明
-- 有理數輔助定理：乘法對減法的左分配律 (a * (b - c) = a * b - a * c)
theorem Rat.mul_sub (a b c : Rat) : a * (b - c) = a * b - a * c := by
rw [Rat.sub_eq_add_neg, Rat.mul_add, Rat.mul_neg, ← Rat.sub_eq_add_neg]
-- 步驟：1. 減法改寫為加相反數 2. 乘法對加法分配律 3. 負號移至外側 4. 加相反數改回減法
-- 列表引理 1：展平函數 (flatten) 對列表串接 (++) 具有分配律
theorem flatten_append {α : Type} (l₁ l₂ : List (List α)) :
flatten (l₁ ++ l₂) = flatten l₁ ++ flatten l₂ := by
induction l₁ with
| nil => simp [flatten] -- 基礎情況：空列表，藉由定義直接化簡 (simp) 成立
| cons h t ih =>
simp [flatten, List.append_assoc, ih]
-- 歸納步驟：展開首項，利用結合律 (append_assoc) 與歸納假設 (ih) 自動化簡完成
-- 列表引理 2：平方和函數 (sumSq) 對列表串接具有加法分配律
theorem sumSq_append (l₁ l₂ : List Rat) :
sumSq (l₁ ++ l₂) = sumSq l₁ + sumSq l₂ := by
induction l₁ with
| nil =>
simp [sumSq] -- 基礎情況：空列表，化簡得 0 + sumSq l₂ = sumSq l₂
rw [Rat.zero_add] -- 重寫 0 + x 為 x，關閉目標
| cons h t ih =>
simp only [List.cons_append, sumSq, ih] -- 展開首項並套用歸納假設 ih
rw [Rat.add_assoc] -- 利用有理數加法結合律：(h^2 + A) + B = h^2 + (A + B)，完成證明
-- 列表引理 3：列表的 drop (n + 1) 等於 drop n 後再取 tail
theorem drop_succ {α : Type} (n : Nat) (l : List α) : l.drop (n + 1) = (l.drop n).tail := by
induction l generalizing n with
| nil => simp [List.drop, List.tail] -- 空列表直接化簡成立
| cons x xs ih =>
cases n with
| zero => simp [List.drop, List.tail] -- n = 0 時直接化簡成立
| succ n' =>
simp only [List.drop] -- 展開一步 drop
rw [ih n'] -- 套用歸納假設 ih，完成證明
-- 列表引理 4：單步奇異值降解 delta1Sing 等價於反轉、去頭、再反轉
theorem delta1Sing_spec (sing : List (List Rat)) :
delta1Sing sing = (sing.reverse.tail).reverse := by
unfold delta1Sing -- 展開定義
cases h : sing.reverse with
| nil => simp -- 空列表情況直接化簡
| cons x xs => simp -- 非空列表情況直接化簡
-- 列表引理 5：k 步奇異值降解 deltaKSing 等價於丟棄尾端的 k 個元素
theorem deltaKSing_spec (sing : List (List Rat)) (k : Nat) :
deltaKSing sing k = (sing.reverse.drop k).reverse := by
induction k with
| zero => simp [deltaKSing, List.drop] -- k = 0 步時為恆等，直接成立
| succ n ih =>
simp only [deltaKSing, delta1Sing_spec, ih] -- 展開定義並套用 ih
rw [List.reverse_reverse] -- 重寫雙重反轉：l.reverse.reverse = l
rw [drop_succ] -- 套用 drop_succ 引理，完成證明
-- 列表引理 6：核心等式。奇異值降解 deltaKSing k 等於直接從前端 take (長度 - k) 個元素
theorem deltaKSing_eq_take (sing : List (List Rat)) (k : Nat) :
deltaKSing sing k = sing.take (sing.length - k) := by
rw [deltaKSing_spec] -- 1. 將 LHS 重寫為 drop 形式
rw [List.drop_reverse] -- 2. 套用核心庫的 drop_reverse：(l.reverse.drop k) = (l.take (len - k)).reverse
rw [List.reverse_reverse] -- 3. 消除雙重反轉，化簡為 take 形式，完成證明
-- 核心能量定理：能量守恆拆分。
-- 保留部分的奇異值平方和 + 丟棄部分的奇異值平方和 = 原本鏈複形的總奇異值平方和。
theorem energy_partition (sing : List (List Rat)) (k : Nat) :
sumSq (flatten (deltaKSing sing k)) + sumTopKSq sing k = sumSq (flatten sing) := by
unfold sumTopKSq -- 展開定義
rw [deltaKSing_eq_take] -- 將 deltaKSing 重寫為 take 形式
-- 建立輔助命題：將原列表拆分為 take 與 drop 的串接
have h_split : sing.take (sing.length - k) ++ sing.drop (sing.length - k) = sing :=
List.take_append_drop (sing.length - k) sing
-- 將展平函數 flatten 套用到兩側
have h_flat : flatten (sing.take (sing.length - k) ++ sing.drop (sing.length - k)) = flatten sing := by
rw [h_split]
-- 使用 flatten_append 引理展開 LHS 的串接
rw [flatten_append] at h_flat
-- 建立平方和相等的命題
have h_sum : sumSq (flatten (sing.take (sing.length - k)) ++ flatten (sing.drop (sing.length - k))) = sumSq (flatten sing) := by
rw [h_flat]
-- 套用 sumSq_append 展開，轉化為加法形式，順利完成守恆證明
rw [sumSq_append] at h_sum
exact h_sum
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-- 第六部分：主要定理驗證 (Main Theorems Verification)
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### 定理 5.1 (實質非平凡版本)：能量守恆定理
驗證：k 步降維的「累積信息失真」再加上「降維後保留的能量」，精確等於「原鏈複形的總能量」（均歸一化）。
這證明了 FDRS 的信息損失是由被捨棄的邊界算子奇異值能量精確決定的，沒有任何隱性偏差。
-/
theorem energy_conservation (H : FDRSComplex) (k : Nat) :
distortionK H k + (sumSq (flatten (deltaKSing H.sing k)) / (sumNat H.dim : Rat)) =
sumSq (flatten H.sing) / (sumNat H.dim : Rat) := by
unfold distortionK -- 展開累計失真率定義
rw [← Rat.add_div] -- 1. 通分：將兩個分數相加合併為一個分數
rw [Rat.add_comm] -- 2. 交換加數順序：使分子變為 保留能量 + 捨棄能量
rw [energy_partition] -- 3. 套用能量守恆拆分定理，分子直接收束為總能量，完成證明
/-- 原始的定義性恆等式（rfl 版本）依然成立，代表定義與定理的自洽性 -/
theorem D_delta_spectral_correspondence (H : FDRSComplex) (k : Nat) :
distortionK H k = sumTopKSq H.sing k / (sumNat H.dim : Rat) := by
rfl -- 依據定義直接反射 (reflexivity) 成立
/--
### 定理 5.2：$\mathcal{R}$-$\Delta$ 非交換性定理
定義：在譜模式下，第一步邊界算子所產生的失真率，分母為總奇異值能量。
-/
def distortionSpec1 (H : FDRSComplex) : Rat :=
if h : H.sing.length > 0 then
let n := H.sing.length - 1
have hn : n < H.sing.length := Nat.sub_lt h (by decide)
let top_sing := H.sing.get ⟨n, hn⟩
sumSq top_sing / sumSq (flatten H.sing)
else
0
/--
證明：表示轉換算子與維度元算子的非交換差值，精確等於奇異值特徵能量在兩種度量模式下的讀數差值。
此非交換量由邊界算子的譜數據完全決定。
-/
theorem R_delta_non_commutativity (H : FDRSComplex) (h : H.sing.length > 0) :
let D_spec_delta := distortionSpec1 H
let D_lin_delta := distortion1 H
let energy_top := sumSq (H.sing.get ⟨H.sing.length - 1, Nat.sub_lt h (by decide)⟩)
let total_energy := sumSq (flatten H.sing)
let total_dim := sumNat H.dim
D_spec_delta - D_lin_delta = energy_top * (1 / total_energy - 1 / (total_dim : Rat)) := by
-- 引入 let 綁定的局部定義變數
intro D_spec_delta D_lin_delta energy_top total_energy total_dim
-- 展開綁定，使項目顯式化
unfold D_spec_delta D_lin_delta energy_top total_energy total_dim
-- 展開失真函數的定義
unfold distortionSpec1 distortion1
-- 將 h (長度 > 0) 的條件化簡（簡化 if-then-else 分支）
simp only [h, ↓reduceDIte]
-- 將所有有理數除法展開為乘法與倒數形式 (x / y = x * y⁻¹)
rw [Rat.div_def, Rat.div_def, Rat.div_def (1 : Rat), Rat.div_def (1 : Rat)]
-- 將乘法單位元化簡：1 * x = x
rw [Rat.one_mul, Rat.one_mul]
-- 套用分配律：A * B⁻¹ - A * C⁻¹ = A * (B⁻¹ - C⁻¹) 關閉目標，完成全部證明！
rw [Rat.mul_sub]