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#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
EML-OPN 番外篇
純中文數字系統（算籌）× 幾何語言表示論（弦圖 / Cl(2,0) / 矩陣）
EML-OPN-fanwai.py
EveMissLab | Theia · 2026年6月
驗證兩項延伸命題：
甲 相同的三層守恆結構，在純中文數字 / 算籌系統中完整成立
乙 勾股定理（幾何真值）在三種表示語言下擁有同一不動點，
表示論是不同幾何語言之間等價性的保證機制
"""
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
# A 中文數字工具
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
DIGITS = '零一二三四五六七八九'
def to_cn(n):
"""非負整數 → 中文數字串。"""
if n < 10: return DIGITS[n]
if n < 20: return '十' + (DIGITS[n % 10] if n % 10 else '')
if n < 100:
t, o = n // 10, n % 10
return DIGITS[t] + '十' + (DIGITS[o] if o else '')
if n < 1000:
h, rest = n // 100, n % 100
if rest == 0: return DIGITS[h] + '百'
if rest < 10: return DIGITS[h] + '百零' + DIGITS[rest]
return DIGITS[h] + '百' + to_cn(rest)
return str(n) # 超出範圍時回退 Arabic
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
# B 表達式樹（與主程式完全相同，重新定義以避免導入問題）
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
class Node:
def __init__(self, op, left=None, right=None, value=None):
self.op, self.left, self.right, self.value = op, left, right, value
def __repr__(self):
if self.op == 'val': return str(self.value)
return f"({self.left} {self.op} {self.right})"
def __eq__(self, other):
if not isinstance(other, Node) or self.op != other.op: return False
if self.op == 'val': return self.value == other.value
return self.left == other.left and self.right == other.right
def Val(n): return Node('val', value=n)
def Add(l, r): return Node('+', l, r)
def Mul(l, r): return Node('*', l, r)
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
# C 算籌求值器
# 邏輯與主程式 fully_expanded_eval 完全相同；
# 差異僅在顯示層：數值以中文呈現，術語取自古算語彙。
# 此函數的存在本身即第一直接證據：
# 符號系統（中文 ↔ 阿拉伯）的替換不改變計算結構。
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
def suanpan_eval(tree, log=None, depth=0):
if log is None: log = []
pad = ' ' * depth
if tree.op == 'val':
log.append(f"{pad}末算 {to_cn(tree.value)}")
return tree.value
lv = suanpan_eval(tree.left, log, depth + 1)
rv = suanpan_eval(tree.right, log, depth + 1)
if tree.op == '+':
r = lv + rv
log.append(f"{pad}以{to_cn(lv)}加{to_cn(rv)}，得{to_cn(r)}")
return r
# 乘法 → 重複加法（算籌逐次累加）
times, addend = (lv, rv) if lv <= rv else (rv, lv)
marks = '＋'.join([to_cn(addend)] * times)
log.append(f"{pad}以{to_cn(addend)}累加{to_cn(times)}次（{marks}）")
r = 0
for _ in range(times): r += addend
log.append(f"{pad}乘得{to_cn(r)}")
return r
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
# D 幾何代數 Cl(2,0)
# 基底：{1, e₁, e₂, e₁₂}，分量記為 (s, v1, v2, b)
# 乘法規則：e₁²=1 e₂²=1 e₁e₂=e₁₂ e₂e₁=−e₁₂ e₁₂²=−1
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
class Cl2:
def __init__(self, s=0., v1=0., v2=0., b=0.):
self.s, self.v1, self.v2, self.b = float(s), float(v1), float(v2), float(b)
@classmethod
def vec(cls, a, b): return cls(0, a, b, 0)
def __add__(self, o):
return Cl2(self.s+o.s, self.v1+o.v1, self.v2+o.v2, self.b+o.b)
def __mul__(self, o):
# 完整 Cl(2,0) 幾何積，基底乘法表展開
a, b = self, o
return Cl2(
a.s*b.s + a.v1*b.v1 + a.v2*b.v2 - a.b*b.b, # scalar
a.s*b.v1 + a.v1*b.s - a.v2*b.b + a.b*b.v2, # e₁
a.s*b.v2 + a.v1*b.b + a.v2*b.s - a.b*b.v1, # e₂
a.s*b.b + a.v1*b.v2 - a.v2*b.v1 + a.b*b.s # e₁₂
)
def norm_sq(self):
"""向量範數平方 = v1²+v2²（grade-1 向量自乘之純量部分）"""
return (self * self).s
def __repr__(self):
t = []
for v, name in [(self.s,''), (self.v1,'e₁'), (self.v2,'e₂'), (self.b,'e₁₂')]:
if abs(v) > 1e-10: t.append(f"{v:g}{name}")
return ' + '.join(t) or '0'
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
# E 矩陣表示（Cl(2,0) 的 2×2 實矩陣同構）
# e₁ ↦ [[1,0],[0,−1]] e₂ ↦ [[0,1],[1,0]] e₁₂ ↦ [[0,1],[−1,0]]
# 向量 ae₁+be₂ ↦ [[a,b],[b,−a]]
# 表示論保證：Cl(2,0) 中成立的等式，在此表示下也成立
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
def mat_mul(A, B):
return [[A[0][0]*B[0][0]+A[0][1]*B[1][0], A[0][0]*B[0][1]+A[0][1]*B[1][1]],
[A[1][0]*B[0][0]+A[1][1]*B[1][0], A[1][0]*B[0][1]+A[1][1]*B[1][1]]]
def mat_add(A, B):
return [[A[i][j]+B[i][j] for j in range(2)] for i in range(2)]
def vec_to_mat(a, b):
"""向量 ae₁ + be₂ → 矩陣表示"""
return [[a, b], [b, -a]]
def mat_norm_sq(M):
"""‖v‖² = trace(M²)/2（對 grade-1 向量的矩陣表示成立）"""
M2 = mat_mul(M, M)
return (M2[0][0] + M2[1][1]) / 2
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
# F 弦圖面積計算（出入相補原理，純加法）
# 外正方形面積 = 四三角形合計 + 中央小正方形
# 弦² = 2×gou×gu + (gu−gou)² = gou² + gu²
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
def xian_tu(gou, gu):
"""
以純加法實現弦圖的面積計算。
返回 (弦², 四三角形合計面積, 中央正方形面積, 中央正方形邊長)
"""
# 四個三角形面積總和 = 4×gou×gu（純加法）
four_gou_gu = 0
for _ in range(4):
for _ in range(gou):
four_gou_gu += gu
two_gou_gu = four_gou_gu // 2 # = 2×gou×gu
# 中央小正方形邊長 = |gu - gou|，面積（純加法）
side = abs(gu - gou)
inner = 0
for _ in range(side): inner += side
return two_gou_gu + inner, two_gou_gu, inner, side
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
# 主驗證
# ══════════════════════════════════════════════════════════════════
LINE = '═' * 64
LINE2 = '─' * 52
def section(title):
print(f"\n{LINE}\n {title}\n{LINE}")
def run():
print(f"\n{'='*64}")
print(" EML-OPN 番外篇")
print(" 純中文數字（算籌） × 幾何語言表示論（弦圖/Cl(2,0)/矩陣）")
print(" EveMissLab | Theia · 2026年6月")
print(f"{'='*64}")
results = {}
# ──────────────────────────────────────────────────────────────
# 番外甲：算籌系統三層守恆
# ──────────────────────────────────────────────────────────────
section("番外甲：算籌系統（中文數字顯示）——三層守恆")
# ── 甲-一：第一層（約定守恆 / 語言歧義）────────────────────
print(f"""
【甲-一】語言歧義對照（對應附錄 B 前置）
字串：「二加三乘四」
讀法一（中文從左至右自然閱讀，等同加法優先 S₊）：
（二加三）乘四
讀法二（古算顯式語序，等同乘法優先 S×）：
以三乘四得十二，再加二
古典算書（如《九章算術》）採顯式語序避免歧義，
即：自然語言的古算表達傾向完整展開系統。
""")
T_read1 = Mul(Add(Val(2), Val(3)), Val(4)) # 讀法一的樹
T_read2 = Add(Val(2), Mul(Val(3), Val(4))) # 讀法二的樹
log1, log2 = [], []
v1 = suanpan_eval(T_read1, log1)
v2 = suanpan_eval(T_read2, log2)
print(" 讀法一（加法優先）的算籌步驟：")
for s in log1: print(f" {s}")
print(f" 不動點：{to_cn(v1)}（{v1}）\n")
print(" 讀法二（乘法優先）的算籌步驟：")
for s in log2: print(f" {s}")
print(f" 不動點：{to_cn(v2)}（{v2}）")
assert v1 == 20 and v2 == 14
print(f"\n ✓ {to_cn(v1)}（{v1}） ≠ {to_cn(v2)}（{v2}）")
print(f" → 約定決定語義，此層守恆為前提層")
results['cn_layer1'] = (v1, v2)
# ── 甲-二：第二層（值守恆）──────────────────────────────────
print(f"\n {LINE2}")
print(" 【甲-二】值守恆（對應附錄 B、C）")
T = Add(Val(2), Mul(Val(3), Val(4)))
la, lb = [], []
va = suanpan_eval(T, la)
vb = suanpan_eval(T, lb)
assert va == vb == 14
assert la == lb
print(f" 確定意圖為讀法二（以三乘四得十二，加以二）")
for s in la: print(f" {s}")
print(f" 算籌步驟序列唯一，不動點：{to_cn(va)}（{va}）")
print(f" ✓ 兩次計算步驟逐條完全一致（log_a == log_b）")
print(f" 中文數字系統值守恆通過")
results['cn_layer2'] = va
# ── 甲-三：第三層（代數路徑守恆 / 交換律）───────────────────
print(f"\n {LINE2}")
print(" 【甲-三】代數路徑守恆（乘法兩種展開路徑）")
# 路徑甲：以四累加三次（三×四，按定義方向：三出現四次）
path_a = 0
steps_a = []
for _ in range(4):
path_a += 3
steps_a.append(to_cn(3))
# 路徑乙：以三累加四次（四×三，交換律等價形式：四出現三次）
path_b = 0
steps_b = []
for _ in range(3):
path_b += 4
steps_b.append(to_cn(4))
print(f" 路徑甲（以三累加四次）：{'＋'.join(steps_a)} = {to_cn(path_a)}")
print(f" 路徑乙（以四累加三次）：{'＋'.join(steps_b)} = {to_cn(path_b)}")
assert path_a == path_b == 12
print(f" ✓ 兩條路徑均得{to_cn(path_a)}（{path_a}），代數路徑守恆通過")
results['cn_layer3'] = path_a
# ──────────────────────────────────────────────────────────────
# 番外乙：勾股定理三重表示
# ──────────────────────────────────────────────────────────────
section("番外乙：幾何語言表示論——勾股定理三重表示")
gou, gu = 3, 4
xian_sq_expected = gou**2 + gu**2 # = 25
print(f"\n 勾 = {to_cn(gou)}，股 = {to_cn(gu)}")
print(f" 驗證命題：弦² = 勾² + 股² = {to_cn(gou)}² + {to_cn(gu)}² = {to_cn(xian_sq_expected)}")
print(f"\n 三種表示語言分別獨立計算，確認不動點一致。")
# ── 乙-一：弦圖（幾何語言，出入相補）────────────────────────
print(f"\n {LINE2}")
print(" 【表示一】弦圖（出入相補原理，純加法）")
xian_sq_geo, two_gou_gu, inner_area, side_inner = xian_tu(gou, gu)
print(f" 以四個勾{to_cn(gou)}股{to_cn(gu)}的直角三角形圍成外正方形：")
print(f" 四個三角形合計面積 = 四×勾×股÷二")
print(f" = 四×{to_cn(gou)}×{to_cn(gu)}÷二（純加法計算）= {to_cn(two_gou_gu)}")
print(f" 中央小正方形邊長 = |股−勾| = |{to_cn(gu)}−{to_cn(gou)}| = {to_cn(side_inner)}")
print(f" 中央小正方形面積 = {to_cn(side_inner)}² = {to_cn(inner_area)}")
print(f" 弦² = {to_cn(two_gou_gu)} + {to_cn(inner_area)} = {to_cn(xian_sq_geo)}")
assert xian_sq_geo == xian_sq_expected
print(f" ✓ 弦圖語言得弦² = {to_cn(xian_sq_geo)}（{xian_sq_geo}）")
results['geo_xiantu'] = xian_sq_geo
# ── 乙-二：幾何代數 Cl(2,0)────────────────────────────────
print(f"\n {LINE2}")
print(" 【表示二】幾何代數 Cl(2,0)")
print(f" 基底 {{1, e₁, e₂, e₁₂}}，規則：e₁²=e₂²=1，e₁₂²=−1，e₁e₂=−e₂e₁=e₁₂")
a = Cl2.vec(gou, 0) # 勾向量 = gou·e₁
b = Cl2.vec(0, gu) # 股向量 = gu·e₂（與 a 垂直）
c = a + b # 弦向量
ab = a * b
ba = b * a
inner_ab = (ab.s + ba.s) / 2 # 內積 = (ab+ba)/2 的純量部分
print(f"\n a（勾向量）= {a} → a·a = {a.norm_sq():.0f}")
print(f" b（股向量）= {b} → b·b = {b.norm_sq():.0f}")
print(f" a×b = {ab} （幾何積）")
print(f" b×a = {ba} （幾何積）")
print(f" 內積 a·b = (ab+ba)/2 的純量部分 = {inner_ab:.0f} ← 垂直確認")
print(f" c（弦向量）= a+b = {c}")
c_sq = c.norm_sq()
print(f" c·c（幾何積純量部分）= {c_sq:.0f}")
assert abs(inner_ab) < 1e-9, "垂直條件失敗"
assert abs(c_sq - xian_sq_expected) < 1e-9
print(f" ✓ Cl(2,0) 語言得弦² = {c_sq:.0f}")
results['geo_cl2'] = c_sq
# ── 乙-三：矩陣表示（表示論投影）────────────────────────────
print(f"\n {LINE2}")
print(" 【表示三】矩陣表示（Cl(2,0) 的 2×2 實矩陣同構）")
print(f" 表示論保證：Cl(2,0) 中成立的等式，在所有忠實表示中均成立")
Ma = vec_to_mat(gou, 0)
Mb = vec_to_mat(0, gu)
Mc = mat_add(Ma, Mb)
nsa = mat_norm_sq(Ma)
nsb = mat_norm_sq(Mb)
nsc = mat_norm_sq(Mc)
print(f"\n M(a) = [[{Ma[0][0]}, {Ma[0][1]}], [{Ma[1][0]}, {Ma[1][1]}]]")
print(f" M(b) = [[{Mb[0][0]}, {Mb[0][1]}], [{Mb[1][0]}, {Mb[1][1]}]]")
print(f" M(c) = M(a)+M(b) = [[{Mc[0][0]}, {Mc[0][1]}], [{Mc[1][0]}, {Mc[1][1]}]]")
print(f" ‖a‖² = trace(M(a)²)/2 = {nsa:.0f}")
print(f" ‖b‖² = trace(M(b)²)/2 = {nsb:.0f}")
print(f" ‖c‖² = trace(M(c)²)/2 = {nsc:.0f}")
assert abs(nsc - xian_sq_expected) < 1e-9
print(f" ✓ 矩陣語言得弦² = {nsc:.0f}")
results['geo_mat'] = nsc
# ── 三重不動點匯流確認 ────────────────────────────────────────
print(f"\n {LINE2}")
print(" 三重表示不動點對照")
print(f" 弦圖（幾何語言） 弦² = {xian_sq_geo}")
print(f" 幾何代數 Cl(2,0) 弦² = {int(c_sq)}")
print(f" 矩陣表示（表示論投影） 弦² = {int(nsc)}")
assert xian_sq_geo == int(c_sq) == int(nsc) == xian_sq_expected
print(f"\n ✓ 三種語言，同一不動點：{to_cn(xian_sq_expected)}（{xian_sq_expected}）")
print(f" {to_cn(gou)}² + {to_cn(gu)}² = {to_cn(gou**2)} + {to_cn(gu**2)} = {to_cn(xian_sq_expected)} = 弦²")
# ──────────────────────────────────────────────────────────────
# 總結
# ──────────────────────────────────────────────────────────────
section("番外篇驗證總結")
print(f"""
番外甲（算籌 / 中文數字系統）
──────────────────────────────────────────────────────
甲-一 語言歧義對照
讀法一 →（二加三）乘四 = {to_cn(results['cn_layer1'][0])}
讀法二 → 以三乘四得十二加二 = {to_cn(results['cn_layer1'][1])}
不同意圖，不同不動點 通過 ✓
甲-二 值守恆
確定意圖後，算籌步驟序列唯一
不動點 = {to_cn(results['cn_layer2'])}
log_a == log_b，路徑未分叉 通過 ✓
甲-三 代數路徑守恆（乘法交換律）
兩種展開路徑均得{to_cn(results['cn_layer3'])} 通過 ✓
番外乙（幾何語言表示論）
──────────────────────────────────────────────────────
勾 = {to_cn(gou)}，股 = {to_cn(gu)}，預期弦² = {to_cn(xian_sq_expected)}
弦圖（幾何語言 / 出入相補） 弦² = {to_cn(results['geo_xiantu'])} 通過 ✓
幾何代數 Cl(2,0) 弦² = {to_cn(int(results['geo_cl2']))} 通過 ✓
矩陣表示（表示論投影） 弦² = {to_cn(int(results['geo_mat']))} 通過 ✓
三種語言，同一不動點 = {to_cn(xian_sq_expected)} 通過 ✓
──────────────────────────────────────────────────────
命題延伸：
不僅算術真值，幾何真值同樣是表示系統選擇下的不動點。
表示論（Representation Theory）是形式化地保證
「不同語言描述同一數學對象」的機制。
符號語言（算籌、坐標、Clifford 代數、矩陣）各有投影的邊界，
而它們所指向的實在，在所有邊界之外，自行存在。
""")
return True
if __name__ == '__main__':
success = run()
exit(0 if success else 1)