孫子兵法數學框架遊戲AI應用規範：三層可執行架構
Sun Tzu Mathematical Framework — Game AI Application Specification: A Three-Layer Executable Architecture
作者：Neo K. 機構：一言諾科技有限公司（EveMissLab） 版本：v0.1 Draft 年份：2026 配合文件：《孫子兵法數學框架：主態空間Γ(t)與降維投影理論》v0.1 符號規範：MSUS v0.2
摘要
本文是《孫子兵法數學框架》理論文件的應用示範規範，目標讀者為遊戲AI設計者與決策系統開發者。本文不提供完整實現代碼，而是提供三個遞進層次的形式化規範與偽代碼：行為樹層（答話篇直接轉譯）、效用評估層（Γ(t)驅動的狀態機）、強化學習環境層（Γ(t)作為MDP定義）。三層可獨立使用，亦可疊加組合。
第一章 前言
1.1 應用示範的定位
理論框架的價值最終需要在可執行結構上得到驗證。孫子兵法數學框架建立了主態空間 $\Gamma(t)$ 及其六個耦合維度，但框架本身不回答一個實踐問題：一個遊戲AI如何使用這個框架做出決策？
本文的回答是：有三個層次可以使用，複雜度遞增，適用場景不同，但都來自同一個 $\Gamma(t)$ 結構。
1.2 三層架構概覽
Layer 3：強化學習環境層
↑ 依賴
Layer 2：效用評估 + 狀態機層
↑ 依賴
Layer 1：行為樹層（答話篇）
↑ 依賴
主態空間 Γ(t)每一層都是完整可用的：
| 層次 | 核心結構 | 主要使用篇章 | 適用場景 | |------|---------|------------|---------| | Layer 1 | 決策樹 / 行為樹 | 答話篇 | 規則型AI，可解釋性優先 | | Layer 2 | 效用函數 + 狀態機 | 始計、軍形、謀攻 | 策略型AI，評估驅動 | | Layer 3 | MDP環境規範 | 全篇（Γ(t)完整定義） | 學習型AI，訓練驅動 |
1.3 符號說明
本文沿用MSUS v0.2符號規範。所有理論推導見主論文，本文僅作引用不作推導。
第二章 Γ(t) 的可執行表示
在進入三層架構之前，需要將理論上的主態空間 $\Gamma(t)$ 轉化為可在程式中實例化的數據結構。
2.1 狀態向量定義
@dataclass
class GammaState:
# 成分一：資源張量 R(t) ∈ ℝ⁴
M: float # 己方兵力，[0, M_max]
R: float # 物資資源，[0, R_max]
C: float # 國家總資本，[0, C_max]
Er: float # 敵方可掠奪資源，[0, Er_max]
# 成分二：資訊覆蓋率 K(t) ∈ [0,1]²
k_self: float # 自我認知完整度
k_enemy: float # 對敵認知完整度
# 成分三：勢能場（空間均勻化近似）
S: float # 整體勢能值，[-S_max, S_max]
# 注：完整空間分布 S(t,x) 在 Layer 3 中展開
# 成分四：地理空間（離散化）
terrain_type: int # 九地類型索引 [0,8]
position: tuple # (x, y) 在戰場網格上的坐標
# 成分五：意志向量 W(t) ∈ [0,1]³
D: float # 道/民心一致度
mu: float # 軍心穩定性
L_eff: float # 將領有效指揮係數
# 成分六：制度結構（緩變量，通常固定）
F_inst: float # 制度規範有效性2.2 狀態更新函數
對應主論文的 $d\Gamma/dt = \Xi_{\text{sys}}(\Gamma, A, \phi(A), E_a, \mathcal{G})$：
def update_gamma(state: GammaState,
action: Action,
enemy_action: Action,
dt: float) -> GammaState:
new_state = copy(state)
# 資源動力學（作戰篇）
cost = compute_cost(state.M, state.R, dt)
loot = compute_loot(action, state.Er)
new_state.M -= cost.M_loss
new_state.R -= cost.R_loss - loot.R_gain
new_state.Er -= loot.Er_consumed
# 資訊更新（行軍篇 + 用間篇）
info_gain = recon_update(action, enemy_action, state.terrain_type)
decay = LAMBDA_K * dt
new_state.k_enemy = min(1.0, state.k_enemy + info_gain - decay)
# 勢能更新（兵勢篇主方程簡化）
F_ext = compute_force(action, state)
new_state.S = state.S + F_ext * dt - divergence_term(state) * dt
# 意志更新
new_state.mu = update_morale(state, action, enemy_action)
return new_state第三章 Layer 1：行為樹（答話篇直接轉譯）
3.1 設計原則
答話篇的核心邏輯是：
$$^{映}\Omega^{答}: (^{態}Q^{答},\; ^{態}\Sigma^{答}(\Gamma)) \to A$$
在遊戲AI中，「問題 $Q$」是系統每幀自動發出的狀態查詢，「態勢分類 $\Sigma$」是對當前 $\Gamma(t)$ 的離散化判斷，「行動 $A$」是AI本幀的決策輸出。
3.2 態勢分類器
對應 $^{態}\Sigma^{答}(\Gamma(t))$，將連續狀態空間離散化為13種戰略態勢：
def classify_situation(state: GammaState) -> Situation:
# 地形優先判斷（九地/九變篇）
if state.terrain_type == TERRAIN_DEATH:
return Situation.DEATH_GROUND # σ_死地
if state.terrain_type == TERRAIN_SCATTER and state.D < 0.3:
return Situation.SCATTER_GROUND # σ_散地
# 資源狀態判斷（作戰篇）
if state.R < R_CRITICAL and state.Er > 0:
return Situation.HEAVY_GROUND # σ_重地（掠奪資源）
# 資訊不對稱判斷（謀攻篇）
if state.k_enemy < 0.2:
return Situation.LIGHT_GROUND # σ_輕地（不宜停留）
# 敵方狀態判斷（需要敵方Γ的估算）
if estimated_enemy_morale < 0.3:
return Situation.ENEMY_ARROGANT # σ_敵驕
if enemy_holds_high_ground(state):
return Situation.ENEMY_HOLDS_HIGH # σ_敵據險
# 勢能判斷（軍形篇）
if state.S > S_ATTACK_THRESHOLD:
return Situation.OFFENSIVE_READY # σ_可勝
# 包圍判斷
if surrounded(state):
return Situation.ENCIRCLED # σ_圍地
# 預設：衢地（外交聯盟優先）
return Situation.JUNCTION_GROUND # σ_衢地3.3 行為樹規範
對應 $^{映}\Omega^{答}: \Sigma \to A$：
def behavior_tree(situation: Situation, state: GammaState) -> Action:
match situation:
case Situation.SCATTER_GROUND:
# 散地：保守堅守，不主動出擊
return Action.DEFEND_AND_HOLD
case Situation.LIGHT_GROUND:
# 輕地：假撤誘敵（詭道映射 φ^始）
return Action.FEINT_RETREAT
case Situation.HEAVY_GROUND:
# 重地：速掠敵資源（η^作）
return Action.RAID_RESOURCES
case Situation.DEATH_GROUND:
# 死地：全力死戰，釋放全部勢能
return Action.ALL_OUT_ASSAULT
case Situation.ENEMY_ARROGANT:
# 敵驕：鬆懈奇襲（φ^兵 正奇轉化）
return Action.SURPRISE_ATTACK
case Situation.ENEMY_HOLDS_HIGH:
# 敵據險：斷糧道（η^作 的逆操作）
return Action.CUT_SUPPLY_LINE
case Situation.ENCIRCLED:
# 圍地：謀破局（θ^爭 分兵）
return Action.BREAK_ENCIRCLEMENT
case Situation.OFFENSIVE_READY:
# 勢能充足：發動主攻
return Action.MAIN_ASSAULT
case Situation.JUNCTION_GROUND:
# 衢地：外交/聯盟優先
return Action.SEEK_ALLIANCE
case _:
return Action.HOLD_POSITION3.4 Layer 1 的能力邊界
行為樹覆蓋了答話篇的13種態勢回應，但不具備預測能力——它只響應當前狀態，不評估行動的中長期效果。這個限制由Layer 2補足。
第四章 Layer 2：效用評估 + 狀態機
4.1 效用函數
對應主論文的勝負評估函數 $\kappa(\Gamma(t)) = \sum_i w_i \cdot \kappa_i(\Gamma_i)$：
# 預設權重（可依遊戲類型調整）
WEIGHTS = {
'resource': 0.25, # 資源成分
'info': 0.20, # 資訊優勢
'momentum': 0.25, # 勢能
'will': 0.20, # 意志
'terrain': 0.10, # 地形利害
}
def evaluate(state: GammaState) -> float:
"""
返回 [0, 1] 的勝負評估值
對應 κ^{始}(Γ(t))
"""
# κ_R：資源評估（作戰篇）
resource_score = (
state.M / M_MAX * 0.4 +
state.R / R_MAX * 0.3 +
state.C / C_MAX * 0.3
)
# κ_K：資訊優勢評估（謀攻篇）
# k_己=1, k_彼=1 → 最高分
info_score = (state.k_self * 0.4 + state.k_enemy * 0.6)
# κ_S：勢能評估（軍形篇）
# 正規化勢能差 d(Es-Ea)/dt
momentum_score = sigmoid(state.S / S_MAX)
# κ_W：意志評估（始計篇 + 九變篇）
will_score = (
state.D * 0.4 +
state.mu * 0.4 +
state.L_eff * 0.2
)
# κ_G：地形利害評估（地形篇）
terrain_score = TERRAIN_VALUE_TABLE[state.terrain_type]
return (
WEIGHTS['resource'] * resource_score +
WEIGHTS['info'] * info_score +
WEIGHTS['momentum'] * momentum_score +
WEIGHTS['will'] * will_score +
WEIGHTS['terrain'] * terrain_score
)4.2 廟算搜索
對應主論文的廟算模型：
$$^{指}算^{始} = \text{Card}\bigl\{a \in A \mid \kappa(\Gamma + \delta_a\Gamma) > \kappa(\Gamma)\bigr\}$$
def temple_calculation(state: GammaState,
candidate_actions: list[Action],
horizon: int = 3) -> Action:
"""
廟算：在 horizon 步內找到最大化 κ(Γ) 增量的行動
對應 sgn(n_我 - n_敵) 的己方項最大化
"""
best_action = None
best_score = -inf
for action in candidate_actions:
# 模擬執行該行動後的狀態
simulated_state = simulate(state, action, horizon)
score = evaluate(simulated_state)
if score > best_score:
best_score = score
best_action = action
return best_action4.3 狀態機設計
對應九變篇的動態適應映射 $^{映}\theta^{變}: (\Gamma, D, E, B) \to A$，以及軍形篇的攻守能量閾值：
class StrategicStateMachine:
"""
三個宏觀戰略狀態，由 Γ(t) 的勢能成分驅動轉換
對應軍形篇：不可勝者，守也；可勝者，攻也
"""
DEFENSIVE = "defensive" # σ(Ds) 優先，等待 τ(E) 最小
ADAPTIVE = "adaptive" # 九變篇模式，動態應對
OFFENSIVE = "offensive" # S > S_threshold，發動主攻
def __init__(self):
self.current_state = self.DEFENSIVE
def transition(self, gamma: GammaState) -> str:
match self.current_state:
case self.DEFENSIVE:
# 軍形篇：守能量穩定 + 敵方脆弱度達閾值 → 轉攻
if (gamma.S > S_ATTACK_THRESHOLD and
gamma.k_enemy > 0.6):
self.current_state = self.OFFENSIVE
# 資訊不足 → 轉適應
elif gamma.k_enemy < 0.3:
self.current_state = self.ADAPTIVE
case self.OFFENSIVE:
# 勢能耗盡或資源告急 → 退守
if (gamma.S < S_RETREAT_THRESHOLD or
gamma.M < M_CRITICAL):
self.current_state = self.DEFENSIVE
case self.ADAPTIVE:
# 九變篇：地形/敵情穩定後回歸主策略
if gamma.k_enemy > 0.5:
self.current_state = self.DEFENSIVE
return self.current_state
def decide(self, gamma: GammaState,
candidates: list[Action]) -> Action:
state = self.transition(gamma)
match state:
case self.DEFENSIVE:
# 守：最大化 σ^{形}(Ds)
return min(candidates,
key=lambda a: defensive_cost(a, gamma))
case self.OFFENSIVE:
# 攻：廟算搜索最優行動
return temple_calculation(gamma, candidates)
case self.ADAPTIVE:
# 適：行為樹（Layer 1）處理特殊態勢
situation = classify_situation(gamma)
return behavior_tree(situation, gamma)4.4 Layer 2 的能力邊界
Layer 2 具備短期預測能力（廟算horizon），但依賴人工設計的權重與閾值。對抗環境中，這些超參數需要調整，且無法自動適應未見過的敵方策略。這個限制由Layer 3補足。
第五章 Layer 3：強化學習環境規範
5.1 MDP形式化定義
將 $\Gamma(t)$ 框架映射到標準馬可夫決策過程 $(S, A, P, R, \gamma)$：
| MDP元素 | 框架對應 | 說明 | |---------|---------|------| | 狀態空間 $S$ | $\Gamma(t)$ | GammaState 數據結構 | | 動作空間 $A$ | $^{態}A^{i}$ 的聯集 | 各篇行動集合的離散化並集 | | 轉移函數 $P$ | $\Xi_{\text{sys}}$ | update_gamma() | | 回報函數 $R$ | $\kappa(\Gamma(t))$ | evaluate() | | 折扣因子 $\gamma$ | — | 設計參數，建議 0.95 |
5.2 動作空間定義
class Action(Enum):
# 資源類（作戰篇）
ADVANCE = 0 # 前進消耗
RETREAT = 1 # 後退保存
RAID_RESOURCES = 2 # 因糧於敵（η^作）
# 資訊類（謀攻篇 + 用間篇）
RECONNAISSANCE = 3 # 偵查（φ^行 更新 k_彼）
DEPLOY_SPIES = 4 # 用間（φ^間 主動更新）
# 勢能類（兵勢篇）
MAIN_FORCE = 5 # 正兵（維持勢場基底）
SURPRISE_ATTACK = 6 # 奇兵（注入 F_ext 峰值）
# 地形類（九變/九地篇）
HOLD_POSITION = 7 # 守地
SEEK_ALLIANCE = 8 # 衢地外交
BREAK_OUT = 9 # 死地突圍
# 意志類（始計篇）
RALLY = 10 # 鼓舞士氣（提升 μ）
FEINT_RETREAT = 11 # 詭道：示弱（φ^始）
# 火攻類（火攻篇，條件觸發）
FIRE_ATTACK = 12 # 需天時條件滿足5.3 回合邊界定義
def is_terminal(state: GammaState) -> tuple[bool, float]:
"""
回合終止條件 + 終局回報
對應謀攻篇的勝負條件與作戰篇的資源耗盡
"""
# 勝利條件：敵方資源歸零（屈服映射 χ^謀 完成）
if enemy_state.M <= 0:
return True, +1.0
# 失敗條件1：己方兵力耗盡
if state.M <= 0:
return True, -1.0
# 失敗條件2：意志崩潰（軍形篇因果鏈斷裂）
if state.L_eff <= 0 or state.mu <= 0:
return True, -0.8
# 失敗條件3：資源耗盡且無法補給
if state.R <= 0 and state.Er <= 0:
return True, -0.6
# 回合上限（作戰篇：兵貴勝，不貴久）
if current_step >= MAX_STEPS:
# 以當前評估值作為終局回報
return True, evaluate(state) * 2 - 1 # 映射到 [-1, 1]
return False, 0.05.4 回報函數設計
def compute_reward(prev_state: GammaState,
action: Action,
next_state: GammaState) -> float:
"""
即時回報 = 狀態改善量 + 行動效率獎勵 + 懲罰項
"""
# 主回報：κ(Γ) 的改善量
delta_eval = evaluate(next_state) - evaluate(prev_state)
# 資訊獎勵：k_彼 提升有額外獎勵（謀攻篇：知彼知己）
info_bonus = 0.1 * max(0, next_state.k_enemy - prev_state.k_enemy)
# 速戰獎勵：每步給予微小負回報，鼓勵速勝（作戰篇：t*）
time_penalty = -0.01
# 詭道獎勵：成功欺騙敵方時的額外回報（虛實篇）
deception_bonus = 0.05 if deception_succeeded(action, enemy_state) else 0
return delta_eval + info_bonus + time_penalty + deception_bonus5.5 環境接口規範
class SunTzuEnv:
"""
標準 gym-style 環境接口
狀態空間 = Γ(t)，動力學 = Ξ_sys
"""
def reset(self) -> GammaState:
"""
初始化 Γ(0)
對應始計篇：未戰而廟算
"""
self.state = GammaState(
M=1.0, R=1.0, C=1.0, Er=0.5,
k_self=0.8, k_enemy=0.3, # 始計：知己勝於知彼
S=0.0,
terrain_type=TERRAIN_JUNCTION,
position=(MAP_CENTER),
D=0.8, mu=0.8, L_eff=1.0,
F_inst=0.9
)
return self.state
def step(self, action: Action) -> tuple:
"""
執行一步，返回 (next_state, reward, done, info)
"""
enemy_action = self.enemy_policy(self.state)
# 詭道映射：呈現假象給敵方
apparent_action = deception_map(action, self.state)
next_state = update_gamma(
self.state, action, enemy_action, dt=1.0
)
reward = compute_reward(self.state, action, next_state)
done, terminal_reward = is_terminal(next_state)
if done:
reward += terminal_reward
self.state = next_state
return next_state, reward, done, {}
def action_mask(self, state: GammaState) -> list[bool]:
"""
行動遮罩：某些行動需要前提條件
對應火攻篇：天時具備才可發動火攻
"""
mask = [True] * len(Action)
# 火攻需要天時條件
if not weather_condition_met(state):
mask[Action.FIRE_ATTACK] = False
# 用間需要資本支持
if state.C < SPY_COST:
mask[Action.DEPLOY_SPIES] = False
return mask第六章 三層整合架構
6.1 層次調用關係
三層並非互斥，而是可以在同一AI系統中協同運作：
class SunTzuAgent:
"""
三層整合代理
"""
def __init__(self, rl_policy=None):
self.state_machine = StrategicStateMachine() # Layer 2
self.rl_policy = rl_policy # Layer 3（可選）
def decide(self, state: GammaState,
candidates: list[Action]) -> Action:
# 優先使用訓練好的RL策略（Layer 3）
if self.rl_policy is not None:
return self.rl_policy(state)
# 退化到Layer 2：狀態機 + 廟算
strategic_state = self.state_machine.transition(state)
if strategic_state == "adaptive":
# 特殊態勢退化到Layer 1：行為樹
situation = classify_situation(state)
return behavior_tree(situation, state)
return self.state_machine.decide(state, candidates)6.2 各層特性對比
| 特性 | Layer 1 行為樹 | Layer 2 狀態機 | Layer 3 強化學習 | |------|--------------|--------------|----------------| | 可解釋性 | ✅ 高 | ✅ 中 | ⚠ 低 | | 泛化能力 | ⚠ 低 | ⚠ 中 | ✅ 高 | | 實現成本 | ✅ 低 | ✅ 中 | ⚠ 高 | | 對抗適應 | ❌ 無 | ⚠ 有限 | ✅ 強 | | 孫子兵法覆蓋 | 答話篇 | 始計/軍形/謀攻 | 全篇 |
6.3 設計建議
若遊戲需要可解釋的AI行為（如讓玩家看懂AI在做什麼）：以Layer 1為主，Layer 2輔助評估。
若遊戲需要有挑戰性的策略AI（無需解釋）：以Layer 2為主，Layer 1處理邊界態勢。
若遊戲需要自我進化的AI（如多人對戰的匹配AI）：以Layer 3為主，Layer 1/2作為訓練初始化策略（curriculum learning的起點）。
第七章 討論
7.1 框架覆蓋範圍
本規範直接使用了以下篇章的數學結構：
| 篇章 | 使用方式 | |------|---------| | 始計篇 | 初始狀態設定、廟算搜索、評估函數 | | 作戰篇 | 資源動力學、速戰回報 | | 謀攻篇 | 資訊優勢評估、終止條件 | | 軍形篇 | 攻守能量閾值、狀態機轉換條件 | | 兵勢篇 | 正奇行動分類、勢能更新 | | 虛實篇 | 詭道映射、欺騙回報 | | 軍爭篇 | 疲勞損耗、路徑代價 | | 九變篇 | 自適應狀態機 | | 行軍篇 | 資訊採集（偵查行動） | | 地形篇 | 地形評估表 | | 九地篇 | 態勢分類（9種地形態勢） | | 火攻篇 | 條件觸發行動（行動遮罩） | | 用間篇 | 資訊採集（用間行動） | | 答話篇 | Layer 1 行為樹核心結構 |
7.2 本規範的限制
本文不包含：
- 完整的超參數調優指南（$w_i$、閾值等依遊戲類型而異）
- 空間分布型勢能場 $\mathcal{S}(t,\mathbf{x})$ 的完整實現（Layer 1/2使用標量近似）
- 多智能體擴展（當前僅定義單個AI代理對抗靜態敵方策略）
- 具體的神經網絡架構建議（Layer 3）
7.3 擴展方向
多智能體：為敵方定義對稱的 $\Gamma_{敵}(t)$，實現雙方完整對抗。敵方的 $k_{彼}$（我方被感知程度）成為博弈的核心變量，對應虛實篇的無形態映射 $^{映}\zeta^{虛}: A \to H$。
空間展開：將標量勢能 $S$ 擴展為網格上的場 $\mathcal{S}(t, \mathbf{x})$，使勢場流動可視化，對應虛實篇的流體方程 $^{勢}S^{虛}$。
課程學習：以Layer 1為初始策略，逐步引入Layer 2的廟算能力，最後訓練Layer 3的完整RL策略，三層形成自然的課程序列。
第八章 結語
孫子兵法的數學框架在本文中完成了從理論到規範的轉化。
$\Gamma(t)$ 是觀測空間。$\Xi_{\text{sys}}$ 是環境動力學。$\kappa(\Gamma)$ 是評估函數。這三個元素足以定義一個完整的決策環境。
孫子說「勝者之戰，若決積水於千仞之谿者，勢也」——用強化學習的語言重述：高回報的動作序列是在 $\mathcal{S}(t,\mathbf{x})$ 積累到臨界點後，通過正確的行動釋放積累的勢能差，在最短時間內最大化 $\kappa(\Gamma)$ 的增量。
兩千五百年前的軍事直覺，與當代的最優控制理論，在這個框架裡指向同一個結構。
$$\text{最優策略} \;\approx\; \arg\max_\pi \mathbb{E}\left[\sum_t \gamma^t R_t \;\bigg|\; \Gamma(0), \pi\right]$$
附錄A 動作空間完整規範
（見第五章2.2節 Action enum，後續版本補充各動作的前提條件與效果函數）
附錄B 超參數參考範圍
| 參數 | 建議範圍 | 說明 | |------|---------|------| | WEIGHTS['resource'] | 0.20–0.35 | 資源密集型遊戲偏高 | | WEIGHTS['info'] | 0.15–0.25 | 資訊戰型遊戲偏高 | | WEIGHTS['momentum'] | 0.20–0.30 | 節奏型遊戲偏高 | | S_ATTACK_THRESHOLD | 0.6–0.8 | 攻擊傾向調整 | | horizon（廟算深度） | 2–5 | 計算資源與前瞻性的折衷 | | MAX_STEPS | 100–500 | 遊戲長度設計 | | $\gamma$（折扣因子） | 0.90–0.99 | 偏短期/長期策略調整 |
版本記錄
| 版本 | 說明 | |------|------| | v0.1 | 初稿：三層架構基本規範，偽代碼框架 |
本文件為EveMissLab孫子兵法數學框架計畫應用示範文件。 理論基礎：《孫子兵法數學框架：主態空間Γ(t)與降維投影理論》 符號規範：MSUS v0.2