從容量候選到分段包絡

—— $s$-穩定 $3$-集合的 pair-ray 幾何、star-forcing 修正與真正剩餘 GAP

作者：Neo.K（研究方向）／Aletheia（推演、整理）
版本：v0.2（推演備忘）
日期：2026-07-12

摘要

上一輪得到候選式：

M_s(n)=3n-10s+2 \qquad(n\ge4s-1),

其中 $M_s(n)$ 是 $C_n$ 上 $s$ -穩定 triples 的非 star intersecting family 最大大小。當時曾推論：由於 $s=3$ 時著色數的因子剛好消去，一般 $s$ 可能必須另尋加權 star-forcing。

這個推論說得太強。真正可直接計算的是任一三條 pair-rays 聯集的分段包絡：

P_s(n)= \begin{cases} 2n-6s+1,&3s\le n\le4s-1,\\ 3n-10s+2,&n\ge4s-1. \end{cases} \tag{P}

它不是數值擬合，而是循環禁止鄰域重疊的精確結果。它控制了原先的 Type 2 與 Type 3 高尺度模板。

若能回填唯一的容量橋樑

\tag{SHME} M_s(n)\le P_s(n),

那麼均勻計數已足以在 $s\ge4$ 、所有 $n\ge3s$ 強迫一個 star color class。 $s=3$ 的特殊性是 $n=12,13,14$ 出現一個有限的等號／反向窗口；這正好對應既有有理對偶證書的有限核心。

因此新的研究地圖是：

\boxed{ \text{一般 }s\text{ 的主要 GAP 是 stable Hilton--Milner 型容量包絡，而不是必然需要加權。} }

本文件只做數學推演；不把 (SHME) 誤標為已證定理。

1. 設定

令 $d_n$ 為 $C_n$ 的循環距離，並令

V_s(n)= \left\{ A\in\binom{\mathbb Z_n}{3}: d_n(x,y)\ge s\text{ for all distinct }x,y\in A \right\}.

以下固定 $s\ge3,n\ge3s$ 。對 $\mathcal F\subseteq V_s(n)$ ：

intersecting：任兩個 members 相交；
star： $\bigcap_{A\in\mathcal F}A\ne\varnothing$ ；
$M_s(n)$ ：所有 non-star intersecting families 的最大大小。

每一個 $KG(n,3)_{s\text{-stab}}$ 的 proper color class 都是 intersecting family。

完整的 stable triple 數為：

|V_s(n)| = \frac{n(n-3s+1)(n-3s+2)}6. \tag{1}

2. 單一 pair-ray

對 $x\in\mathbb Z_n$ ，令

B_{s-1}(x)=\{z:d_n(x,z)\le s-1\}.

其大小為 $2s-1$ 。對 stable pair $\{x,y\}$ ，定義

R(x,y)=\{A\in V_s(n):\{x,y\}\subseteq A\}.

令 $d=d_n(x,y)$ 。因 $d\ge s$ 且 $n\ge3s$ ，兩個禁止鄰域只沿較短路徑重疊，且

|B_{s-1}(x)\cap B_{s-1}(y)| = (2s-1-d)_+,

其中 $u_+=\max\{u,0\}$ 。故：

\boxed{ |R(x,y)| = n-4s+2+(2s-1-d)_+. } \tag{2}

式中的第一項是沒有重疊時的基線，第二項是可回收的局部重疊。

3. 三條 pair-rays 的精確分段包絡

取 stable kernel triple $A=\{a,b,c\}$ ，按循環順序記其 gaps 為

g_1,g_2,g_3\ge s, \qquad g_1+g_2+g_3=n.

令

\mathcal R(A)=R(a,b)\cup R(a,c)\cup R(b,c).

任兩條 rays 的交集都恰為 $A$ ；三條共同交集也為 $A$ 。由容斥與 (2)：

|\mathcal R(A)| = 3n-12s+4+H(A), \tag{3}

其中

H(A)=\sum_{i=1}^3(2s-1-g_i)_+. \tag{4}

寫 $g_i=s+u_i$ ，其中 $u_i\ge0$ 且 $\sum_i u_i=L=n-3s$ ，則

H(A)=\sum_{i=1}^3(s-1-u_i)_+. \tag{5}

這個優化可完全解出：

\max H(A)= \begin{cases} 3(s-1)-L=6s-3-n,&0\le L\le s-1,\\ 2(s-1),&L\ge s-1. \end{cases} \tag{6}

理由是：

$L\le s-1$ 時，任何 $u_i$ 都不會越過截斷門檻；
$L\ge s-1$ 時，至多保留兩個完整的重疊額度，且把多餘 gap 集中於第三個位置即可達到。

代入 (3)：

\boxed{ \max_{A\in V_s(n)}|\mathcal R(A)| = P_s(n) = \begin{cases} 2n-6s+1,&3s\le n\le4s-1,\\ 3n-10s+2,&n\ge4s-1. \end{cases} } \tag{7}

兩段在 $n=4s-1$ 交接，皆為 $2s-1$ 。

對 $n\ge3s+2$ ，可將額外 gap 分散到至少兩個位置，使每條 ray 都有 kernel triple 之外的 member。於是 kernel 的每一點都可被某條相對 ray 避開，而 kernel triple 本身避開所有外點；因此這些最大 ray unions 是非 star constructions。特別地：

(s,s+1,2s-2)\quad(n=4s-1)

以及

(s,s,n-2s)\quad(n\ge4s)

都給出高段包絡的實現。

4. Type 3 也被同一包絡控制

考慮模板

\mathcal T(a;b,c,d) = R(a,b)\cup R(a,c)\cup R(a,d)\cup\{\{b,c,d\}\},

其中 $\{b,c,d\}$ stable。這迫使 $a,b,c,d$ 四點兩兩距離至少為 $s$ ，故 $n\ge4s$ 。

三條 rays 的兩兩交集是三個 stable triples：

\{a,b,c\},\quad\{a,b,d\},\quad\{a,c,d\},

而三條 rays 沒有共同 triple；leaf triple 不在任何 ray 中。因此：

|\mathcal T(a;b,c,d)| = \sum_{\ell\in\{b,c,d\}}|R(a,\ell)|-3+1. \tag{8}

相對固定中心 $a$ ，距離 $a$ 小於 $2s$ 的 leaves 最多兩個，只能分居左右兩側。因此三個重疊額度總和至多 $2(s-1)$ 。由 (2)、(8)：

|\mathcal T(a;b,c,d)| \le 3(n-4s+2)+2(s-1)-2 = 3n-10s+2. \tag{9}

故：

\boxed{ \text{三條 pair-rays 與中心三-ray Type 3 皆受 }P_s(n)\text{ 控制。} }

5. 真正需回填的單一橋樑

上述推導沒有證明所有 non-star intersecting families 都是這兩種模板。因此不能把 (7) 直接寫成 $M_s(n)$ 的一般定理。

需要回填的命題正是：

\boxed{ \begin{aligned} (\mathrm{SHME})_{s,n}:\quad &\mathcal F\subseteq V_s(n)\text{ intersecting 且 non-star}\\ &\Longrightarrow\quad |\mathcal F|\le P_s(n). \end{aligned} } \tag{10}

它可視為 stable Hilton--Milner envelope 的候選形式。

模板	本備忘的狀態
三條 pair-rays（Type 2）	已精確計數
中心 $+$ 三條 rays $+$ leaf triple（Type 3）	已一般化控制
兩條 rays 加有限例外	待逐型回填
一條 ray 加有限例外	待逐型回填
純有限 exceptional families	待逐型回填

所以研究負擔已縮為：利用既有 maximal intersecting $3$ -family 分類，對每個剩餘模板驗證 $|\mathcal F|\le P_s(n)$ 。

6. (SHME) 一旦成立，均勻 star-forcing 就足夠

令預期色數為 $n-2s$ ，反設有

q=n-2s-1

色的 proper coloring，且所有色類皆 non-star。若 (SHME) 成立，則：

|V_s(n)|\le qP_s(n). \tag{11}

6.1 第一段： $3s\le n\le4s-1$

令 $n=3s+t$ ，其中 $0\le t\le s-1$ 。由 (1)、(7)：

|V_s(n)| = \frac{(3s+t)(t+1)(t+2)}6,

qP_s(n) = (s+t-1)(2t+1).

令 $\Delta=|V_s(n)|-qP_s(n)$ ，則：

6\Delta = 3st(t-1)+t^3-9t^2+8t+6. \tag{12}

$t=0,1$ 時， $6\Delta=6$ 。若 $t\ge2$ ，因 $s\ge t+1$ ：

6\Delta \ge 4t^3-9t^2+5t+6>0.

其中 $t=2$ 可直接檢查； $t\ge3$ 時，

4t^3-9t^2+5t+6 = t^2(4t-9)+5t+6>0.

故：

\boxed{ 3s\le n\le4s-1 \Longrightarrow |V_s(n)|>qP_s(n). } \tag{13}

6.2 第二段： $n\ge4s-1$

令

Q_s(n)=6\bigl(|V_s(n)|-qP_s(n)\bigr).

直接展開：

Q_s(n) = n^3-(6s+15)n^2 +(9s^2+87s+8)n -120s^2-36s+12. \tag{14}

在 $n_0=4s-1$ ：

Q_s(n_0)=4s^3-21s^2+35s-12, \tag{15}

Q_s'(n_0)=9s^2-45s+41, \tag{16}

Q_s''(n)=6n-12s-30. \tag{17}

對 $s\ge4$ ：

(15) 在 $s=4$ 為 $48$ ，且其後遞增；
(16) 在 $s=4$ 為 $5$ ，且其後遞增；
$n\ge4s-1$ 時 (17) 為正。

故 $Q_s$ 自左端點起嚴格遞增且為正：

\boxed{ s\ge4,\ n\ge4s-1 \Longrightarrow |V_s(n)|>qP_s(n). } \tag{18}

由 (13)、(18)：

\boxed{ s\ge4\text{ 時，若 (SHME) 成立，所有 }n\ge3s\text{ 的低色數反設都必含 star 色類。} } \tag{19}

7. $s=3$ 的真正特殊性

當 $s=3$ ，(14) 分解為：

Q_3(n) = (n-7)(n-12)(n-14). \tag{20}

因此 $n\ge15$ 時均勻計數有嚴格餘裕；但：

Q_3(12)=Q_3(14)=0, \qquad Q_3(13)<0.

這精確解釋既有有理對偶證書的有限核心。 $n=10,11$ 位於第一段，(13) 已給嚴格餘裕；真正無法僅靠均勻容量計數的只有：

\boxed{n=12,13,14.}

所以 $s=3$ 的「共振」應理解為三點有限缺口，而不是「所有 $s>3$ 都必須改用加權」的理由。加權證書仍可作為有限核心或容量橋樑尚未完成時的工具，但不再是一般化的必然主線。

8. star peeling 與條件性結論

若一個 color class 是以 $x$ 為共同中心的 star，刪去 $x$ 與該顏色。將 $C_{n-1}$ 依循環順序嵌入 $C_n\setminus\{x\}$ 時，任一 $s$-stable triple 的距離只會增加，故有：

KG(n-1,3)_{s\text{-stab}} \hookrightarrow KG(n,3)_{s\text{-stab}}\setminus\{\text{star color}\}.

於是低色數反例遞降為：

(n,n-2s-1) \longrightarrow (n-1,n-2s-2). \tag{21}

在底點 $n=3s$ ，stable triples 為

\{i,i+s,i+2s\}, \qquad i\in\mathbb Z_s,

且彼此兩兩不交，因此圖為 $K_s$ ，不能以 $s-1$ 色著色。

所以得到條件性推論：

若對每個 $s\ge4,n\ge3s$ ，(SHME) 成立，則
$\chi\!\left(KG(n,3)_{s\text{-stab}}\right)=n-2s \qquad(n\ge3s).$
上界由最小元素著色給出：任何 stable triple 的最小元素不會大於 $n-2s$ 。

對 $s=3$ ，同一遞歸搭配 $n=12,13,14$ 的既有精確有理對偶證書，即回到原先的閉合路線。

9. 研究狀態與下一個最小任務

已完成的純推演：

單一 pair-ray 的禁止鄰域重疊公式；
三條 pair-rays 的精確分段包絡；
Type 3 的一般 $s$ 容量控制；
$(\mathrm{SHME})$ 蘊含 $s\ge4$ 全域均勻 star-forcing；
$s=3$ 有限缺口 $(12,13,14)$ 的代數來源。

仍未完成，不能越級宣稱：

$(\mathrm{SHME})$ 對所有 maximal non-star intersecting $3$-family 模板的完整證明；
剩餘一條／兩條 ray 模板的 sharp stable count；
純有限 exceptional templates 的統一 $P_s(n)$ 上界；
任何 proof assistant 的正式檢查。

因此下一個最小證明任務是：

\boxed{ \text{在每一個剩餘 maximal intersecting }3\text{-family 模板中，證明 } |\mathcal F\cap V_s(n)|\le P_s(n). }

一旦這條容量橋樑完成， $s\ge4$ 的 star-forcing、star peeling 與色數結論都會由上述鏈條自動接上。

10. 分類文獻核對與範圍校正

2025 年 Bickle 的完整分類給出「六種無限家族與八種有限家族」；對 maximal intersecting $3$-families，其相關條目可寫成：

分類條目	形式	對本備忘的角色
2	$\{12x,13y,23z\}$	三條 pair-rays，已由 (7) 處理
3	$\{12x,13y,14z,234\}$	Type 3，已由 (9) 處理
4	$\{12x,13y,234,235,145\}$	兩條 rays 加三個例外，待處理
5a--5c	一條 $12x$ ray 加六個固定 triples	待處理
6a--6h	八種純有限家族	待處理

因此 $(\mathrm{SHME})$ 的剩餘部分不是未命名的無限搜尋，而是上述十二個明確模板的 stable restriction 計數。Bickle 的分類是這一壓縮的外部依據，但它本身不給出 $s$-stable restriction 的 sharp 容量。

具體地，任一 non-star intersecting $\mathcal F\subseteq V_s(n)$ 都可在所有 $3$-subsets 的環境中擴張成 maximal intersecting family $\mathcal S$ ；因為 $\bigcap\mathcal F=\varnothing$ ，擴張後仍不可能變成 star。故只要對每一個 Bickle 模板證明

|\mathcal S\cap V_s(n)|\le P_s(n),

就足以推出原本色類的容量界。

同時，2026 年公開的研究摘要與論文說明確實存在「 $3$-uniform $s$-stable sets 的 stable Hilton--Milner」結果；但公開摘要所宣稱的色數推進是 $s=3$ 的大參數情形。因此本備忘的 $(\mathrm{SHME})$ 在一般 $s$ 上必須維持為候選橋樑，不能被視為已由現有文獻或本文件證明。若它在所有 $s\ge4$ 成立，則第 6--8 節會推出比目前這裡所核對的公開敘述更廣的結論；這正是必須先逐模板證明或尋找反例的原因。

參考：

A. Bickle, Intersecting families of 3-sets, Australasian Journal of Combinatorics 93(1), 216--223, 2025.
Great Plains Combinatorics Conference 2026 abstract（Chen、Parker、Zerbib 的 stable Kneser 研究摘要）。

11. 第一個剩餘模板：Family 4 的容量已閉合

本節處理 Bickle Family 4：

\mathcal S_4 = R(1,2)\cup R(1,3)\cup \bigl\{\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{1,4,5\}\bigr\}. \tag{22}

結論是：

\boxed{ \mathcal F\subseteq\mathcal S_4\cap V_s(n) \text{ intersecting 且 non-star} \quad\Longrightarrow\quad |\mathcal F|\le P_s(n). } \tag{23}

以下「使用一條 ray」只指 $\mathcal F$ 含有該 ray 中的 member；為取上界，可以把已使用的 branch 擴大為完整的 stable ray。

11.1 同時使用兩條 rays

若兩條 rays 都被使用，而 $\mathcal F$ 是 non-star，則它至少要使用

234\quad\text{或}\quad235,

否則全部 members 都含 $1$ 。於是 $123$ 是 stable kernel triple。

若 $145$ 不 stable 或不被使用，則所有剩餘例外均落在 $R(2,3)$ ，故
$\mathcal F\subseteq R(1,2)\cup R(1,3)\cup R(2,3),$
直接由 (7) 得到 (23)。
若 $145$ 與恰好一個 $234,235$ stable，例如 $234$ ，則
$\mathcal F \subseteq R(1,2)\cup R(1,3)\cup R(1,4)\cup\{234\}.$
右邊正是第 4 節的 Type 3，故由 (9) 得到 (23)。
若三個例外都 stable，則 $1,2,3,4,5$ 的每一對都共同出現在某一個 stable triple 或 stable ray pair 中，故五點兩兩距離至少 $s$ ，從而 $n\ge5s$ 。此時
$|\mathcal F| \le |R(1,2)|+|R(1,3)|+2 \le 2(n-3s+1)+2.$
而在 $n\ge5s$ ：
$P_s(n)-\bigl(2n-6s+4\bigr) =n-4s-2 \ge s-2>0.$
故仍有 (23)。

11.2 恰好使用一條 ray

不妨設使用 $R(1,2)$ 而不使用 $R(1,3)$ 。為使交集同時避開 $1$ 與 $2$ ，必須使用 $145$ ，以及 $234,235$ 中至少一個。

若 $234,235$ 都 stable，則 $1,2,4,5$ 已兩兩 $s$ -分離，故 $n\ge4s$ 。再由

|\mathcal F| \le |R(1,2)|+3 \le n-3s+4,

得到：

P_s(n)-(n-3s+4) =2n-7s-2 \ge s-2>0.

若恰好一個，例如 $234$ ，則

|\mathcal F| \le |R(1,2)|+2. \tag{24}

在 $n\ge4s-1$ ，由 $|R(1,2)|\le n-3s+1$ ：

P_s(n)-\bigl(|R(1,2)|+2\bigr) \ge2n-7s-1 \ge s-3\ge0.

在 $n=3s+t$ 、 $2\le t\le s-1$ ，由 $|R(1,2)|\le t+1$ ：

|\mathcal F|\le t+3\le2t+1=P_s(n).

剩下的邊界 $t=0,1$ ：

$t=0$ 時， $V_s(3s)$ 的 triples 兩兩不交，不存在 non-star intersecting family；
$t=1$ 時， $234$ 與 $145$ stable，且 pair $12$ stable。此時 $1,3$ 是 pair $24$ 的兩個不同 stable completions。由 (2) 可知 $d_n(2,4)=s$ 。令
$2=0,\qquad4=s.$
pair $24$ 的兩個 completions 是 $2s,2s+1$ 。若 $1=2s+1$ ，則 pair $(1,4)$ 的唯一 stable completion 是 $2$ ，與 $145$ 需要的 distinct point $5$ 矛盾；故 $1=2s$ ，於是 $d_n(1,2)=s+1$ ，再由 (2) 得
$|R(1,2)|=1.$
因此 (24) 至多為 $3=P_s(3s+1)$ 。

11.3 不使用 ray

此時最多只有三個固定例外。當 $n=3s$ 時，如上不存在 non-star intersecting family；當 $n\ge3s+1$ 時， $P_s(n)\ge3$ ，故 (23) 仍成立。

所以 Family 4 已完全從 $(\mathrm{SHME})$ 的待辦清單中移除。

12. 更新後的剩餘 GAP

現在 $(\mathrm{SHME})$ 尚待處理的只剩：

Family 5a--5c：一條 ray 加六個固定 triples；
Family 6a--6h：八種純有限 templates。

這是一次實質縮減：原本的「其餘十二個模板」已減為十一個，其中 Family 4 的所有 stable boundary cases 都已由 (22)--(24) 控制。

12.1 Family 5 的大尺度自動界

每個 Family 5a--5c 都只有一條無限 ray 與六個固定 triples。由 (2)，任一 stable ray 最多有

n-3s+1

個 members，因此任一 stable restriction 粗略滿足：

|\mathcal F| \le n-3s+7. \tag{25}

在低段 $n=3s+t$ 、 $0\le t\le s-1$ ，(25) 與 $P_s(n)=2t+1$ 的差為：

P_s(n)-(n-3s+7)=t-6. \tag{26}

故 $t\ge6$ 時，Family 5 不需任何細節分析就已受 $P_s(n)$ 控制。

在高段，差為：

P_s(n)-(n-3s+7)=2n-7s-5. \tag{27}

所以：

n\ge\left\lceil\frac{7s+5}{2}\right\rceil \quad\Longrightarrow\quad \text{Family 5 已自動受 }P_s(n)\text{ 控制。} \tag{28}

特別地， $s\ge7$ 時高段一開始的 $n=4s-1$ 已滿足 (28)。合併 (26)--(28) 可知：

\boxed{ \text{Family 5 的真正難點只可能落在固定 slack } n-3s\in\{0,1,2,3,4,5\}. } \tag{29}

這不是完整證明，因為 (25) 在這六個近底點 regime 太粗；但它把所有大尺度情形排除出待辦清單。

12.2 Family 6 的大尺度自動界

Family 6a--6h 都是純有限家族，Bickle 的分類中每個至多有 $10$ 個 triples。因此：

|\mathcal F|\le10. \tag{30}

低段中， $P_s(3s+t)=2t+1$ ，故 $t\ge5$ 時已自動滿足 $P_s(n)\ge10$ 。高段的起點 $n=4s-1$ 有：

P_s(4s-1)=2s-1,

所以 $s\ge6$ 時亦自動控制全部高段。對 $s=3,4,5$ ，尚未被這個粗界覆蓋的高段點分別只到：

n\le3s+3,\qquad n\le3s+3,\qquad n\le3s+4.

因此：

\boxed{ \text{Family 6 的真正難點只可能落在 } n-3s\in\{0,1,2,3,4\}. } \tag{31}

這把剩餘的無限參數問題進一步壓成五個或六個固定 slack regime；後續只需對每個 template 的 stable gap constraints 做符號化分析，而不是對所有 $n$ 做無界枚舉。

從容量候選到分段包絡

從容量候選到分段包絡

—— $s$-穩定 $3$-集合的 pair-ray 幾何、star-forcing 修正與真正剩餘 GAP

摘要

1. 設定

2. 單一 pair-ray

3. 三條 pair-rays 的精確分段包絡

4. Type 3 也被同一包絡控制

5. 真正需回填的單一橋樑

6. (SHME) 一旦成立，均勻 star-forcing 就足夠

6.1 第一段： 3s≤n≤4s−13s\le n\le4s-13s≤n≤4s−1

6.2 第二段： n≥4s−1n\ge4s-1n≥4s−1

7. s=3s=3s=3 的真正特殊性

8. star peeling 與條件性結論

9. 研究狀態與下一個最小任務

10. 分類文獻核對與範圍校正

11. 第一個剩餘模板：Family 4 的容量已閉合

11.1 同時使用兩條 rays

11.2 恰好使用一條 ray

11.3 不使用 ray

12. 更新後的剩餘 GAP

12.1 Family 5 的大尺度自動界

12.2 Family 6 的大尺度自動界

6.1 第一段： $3s\le n\le4s-1$

6.2 第二段： $n\ge4s-1$

7. $s=3$ 的真正特殊性