表示不同，指稱同一：十進位進位群胚、商型別與多層等號

摘要

式子

0.999\ldots=1.000\ldots

經常被當成單一層次的數值等式。然而，若保留表示型別，兩端其實是不同的無限數位資料：它們的整數部分不同、首位不同，也不可能在數位流的逐位相等或 bisimulation 下相同。本文主張，這個案例的真正內容不是「兩串符號神祕地變成同一串」，而是表示空間經由求值核、進位群胚及商化後產生新的同一性判定。

令

D=\{0,1,\ldots,9\}, \qquad \mathsf{Rep}_{10}=\mathbb Z\times D^{\mathbb N},

並定義十進位求值

\operatorname{Val}(m,s) =m+\sum_{k=1}^{\infty}s_k10^{-k}.

本文首先定義基本進位邊

(m,p\,e\,9^\omega) \longleftrightarrow (m,p\,(e+1)\,0^\omega), \qquad 0\le e\le8,

以及整數邊界進位

(m,9^\omega) \longleftrightarrow (m+1,0^\omega).

接著證明核心定理：由這些邊生成的進位等價關係，恰好等於求值映射的核關係：

r\sim_{\mathrm{car}}r' \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Val}(r)=\operatorname{Val}(r').

因此，每個實數的普通十進位表示纖維只有一個或兩個元素；恰有兩個表示者正是十進位有理數。 $0.999\ldots$ 與 $1.000\ldots$ 是這個一般核定理在整數邊界的特例。

本文再把核關係提升為薄群胚 $\mathcal G_{10}$ ：物件是原始十進位表示，態射是同值表示之間的可逆進位箭頭。群胚保留「表示不同但可逆相關」；軌道商則忘掉表示差異，只保留實數指稱。從範疇論看，求值映射是其 kernel pair 的餘等化子；任何不依賴表示選擇的函數，都且僅都能唯一下降到該商。

在拓樸層，數位流空間 $D^{\mathbb N}$ 是零維、全不連通的緊空間，而十進位求值是到 $[0,1]$ 的商映射。進位商把每一層互不相交的柱集端點依序黏合，使商空間同胚於連通區間 $[0,1]$ 。這是一個可由連通性與維度辨認的真實拓樸商化，但不是「最後一個 $9$ 發生物理相變」。此外，商映射雖在集合範疇可選標準代表，卻不存在全域連續截面；因此任何單值十進位正規化都必然在某些進位邊界不連續。

最後，本文以 set-quotient／高階歸納型別寫出

\mathsf{DecReal}_{10} :=\mathsf{Rep}_{10}/\!\sim_{\mathrm{car}},

並區分原始表示相等、數位流相等、進位等價、群胚同構、商型別路徑及實數求值相等。於是可同時嚴格寫出

(0,9^\omega)\ne_{\mathsf{Rep}}(1,0^\omega),

(0,9^\omega)\cong_{\mathcal G_{10}}(1,0^\omega),

以及

[(0,9^\omega)]=[(1,0^\omega)].

這個分層不削弱 $0.999\ldots=1$ ；它說明該等式究竟在哪一個商化後的判定域中成立，並為後續算子本體論建立「原始算子、群胚態射與下降算子」的三層結構。

關鍵詞： 十進位表示、進位等價、求值核、kernel pair、群胚、商拓樸、餘等化子、商型別、高階歸納型別、多層等號、正規化

一、從單一等號改寫為有型別的關係鏈

1.1 前兩篇留下的問題

系列第一篇把有限字、無限流及實數求值分開；第二篇則把有限可達、有向上確界與固定點分開。本篇處理尚未完成的第三個問題：

當兩個不同的無限表示具有同一求值時，應保留它們的差異、把它們視為可逆相關，還是直接把它們壓成同一個對象？

這三個選擇分別對應：

原始表示空間；
進位等價群胚；
軌道商／商型別。

1.2 兩個原始表示

令

\mathbf0=0^\omega=000\ldots, \qquad \mathbf9=9^\omega=999\ldots.

定義

r_9=(0,\mathbf9), \qquad r_{10}=(1,\mathbf0).

它們作為有整數部分的數位表示顯然不同：

r_9\ne_{\mathsf{Rep}}r_{10}.

它們的數位行為也不同：一端持續輸出 $9$ ，另一端持續輸出 $0$ ，而且整數標籤不同。

1.3 五個同時成立的判定

本篇將證明：

r_9\ne_{\mathsf{Rep}}r_{10},

r_9\sim_{\mathrm{car}}r_{10},

r_9\cong_{\mathcal G_{10}}r_{10},

[r_9]=[r_{10}] \quad\text{於}\quad \mathsf{Rep}_{10}/\!\sim_{\mathrm{car}},

以及

\operatorname{Val}(r_9) =\operatorname{Val}(r_{10}) =1.

第一式保存語法差異；第二式指定進位關係；第三式把關係表示成可逆箭頭；第四式在商中形成同一元素；第五式是實數值相等。

1.4 基礎框架聲明

除非另行標記，本文在經典集合論與標準實數中工作，並使用每個實數存在通常十進位展開的經典定理。構造性數學中「任意實數是否都可選出十進位展開」需要另外處理；本文的群胚與商型別建構仍可先作用於已給定的表示，但其到全部實數的滿射性不可無條件移植。

二、完整十進位表示空間

2.1 數位流與逐位相等

取

D=\{0,1,\ldots,9\}.

無限小數部分是流

s=(s_1,s_2,\ldots)\in D^{\mathbb N}.

流的逐位相等定義為

s=_{\mathrm{stream}}t \quad\Longleftrightarrow\quad \forall k\ge1,\ s_k=t_k.

2.2 加入整數部分

為使 $0.999\ldots$ 與 $1.000\ldots$ 同屬一型別，定義

\mathsf{Rep}_{10} =\mathbb Z\times D^{\mathbb N}.

此處 $m$ 是整數平移／floor 座標，不是獨立的正負號。例如 $-0.5$ 以 $(-1,5000\ldots)$ 表示，因為 $-1+0.5=-0.5$ 。這個編碼使每個整數切片都統一使用同一個 $[0,1]$ 小數尾空間。

原始表示相等為

(m,s)=_{\mathsf{Rep}}(n,t) \quad\Longleftrightarrow\quad m=n \ \land\ s=_{\mathrm{stream}}t.

2.3 求值映射

定義

\pi(s) =\sum_{k=1}^{\infty}s_k10^{-k},

以及

\operatorname{Val}:\mathsf{Rep}_{10}\to\mathbb R,

\operatorname{Val}(m,s) =m+\pi(s).

由

0\le\pi(s)\le1

可知每個整數切片 $\{m\}\times D^{\mathbb N}$ 的像為 $[m,m+1]$ 。

2.4 滿射但不單射

每個實數至少有一個通常十進位展開，所以

\operatorname{Val}(\mathsf{Rep}_{10})=\mathbb R.

另一方面，

\pi(\mathbf9) =\sum_{k=1}^{\infty}9\cdot10^{-k} =1,

所以

\operatorname{Val}(0,\mathbf9) =1 =\operatorname{Val}(1,\mathbf0).

因此 $\operatorname{Val}$ 不是單射。

2.5 表示與指稱是不同型別

求值箭頭

\mathsf{Rep}_{10} \xrightarrow{\operatorname{Val}} \mathbb R

不表示兩個空間本身相等。原始表示帶有數位、前綴及生成方向；實數值已忘掉這些資料。

三、基本進位邊

3.1 有限前綴記號

令

p=p_1p_2\cdots p_{k-1}\in D^{k-1}, \qquad 0\le e\le8.

$p\,e\,\mathbf9$ 表示先輸出 $p$ ，再輸出 $e$ ，其後永遠輸出 $9$ ； $p\,(e+1)\,\mathbf0$ 類似。

3.2 小數進位邊

定義

c_{m,p,e}: (m,p\,e\,\mathbf9) \longrightarrow (m,p\,(e+1)\,\mathbf0).

其反向箭頭記為 $c_{m,p,e}^{-1}$ 。

3.3 進位邊保持求值

令

A_p =\sum_{i=1}^{k-1}p_i10^{-i}.

左端求值為

m+A_p+e10^{-k} +\sum_{i=k+1}^{\infty}9\cdot10^{-i}.

由

\sum_{i=k+1}^{\infty}9\cdot10^{-i} =10^{-k},

可得

\operatorname{Val}(m,p\,e\,\mathbf9) =m+A_p+(e+1)10^{-k} =\operatorname{Val}(m,p\,(e+1)\,\mathbf0).

3.4 整數邊界進位

全 $9$ 流沒有位於其前面的非 $9$ 小數位，因此另定義

c_m^{\mathbb Z}: (m,\mathbf9) \longrightarrow (m+1,\mathbf0).

其保值性為

\operatorname{Val}(m,\mathbf9) =m+1 =\operatorname{Val}(m+1,\mathbf0).

$0.999\ldots\leftrightarrow1.000\ldots$ 正是 $m=0$ 的情形。

3.5 不是「最後一位進位」

進位邊一次關聯兩個完整無限流：

p\,e\,9^\omega \longleftrightarrow p\,(e+1)\,0^\omega.

其定義不包含「找到最後一個 $9$ 」。尾端 $9^\omega$ 是餘歸納規格，而進位是兩個完整規格間的全局改寫關係。

四、進位等價與求值核定理

4.1 進位等價

令

\sim_{\mathrm{car}}

為包含所有基本進位邊與整數邊界邊的最小等價關係。

4.2 求值核關係

定義

r\sim_{\operatorname{Val}}r' \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Val}(r)=\operatorname{Val}(r').

4.3 核定理

定理 4.1（十進位進位核定理）。 對任意 $r,r'\in\mathsf{Rep}_{10}$ ，

\boxed{ r\sim_{\mathrm{car}}r' \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Val}(r)=\operatorname{Val}(r') }.

充分性

每條生成進位邊都保持求值，而實數相等具有反身性、對稱性與傳遞性。因此

r\sim_{\mathrm{car}}r' \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{Val}(r)=\operatorname{Val}(r').

必要性

令

r=(m,a), \qquad r'=(n,b),

並假設兩者同值。因

n-m=\pi(a)-\pi(b)

是整數且右側位於 $[-1,1]$ ，故

n-m\in\{-1,0,1\}.

情形一： $m=n$ 。

若 $a=b$ ，則兩表示相同。若 $a\ne b$ ，令 $k$ 為第一個不同數位的位置。不失一般性設

a_k<b_k.

由兩流同值，

(b_k-a_k)10^{-k} =\sum_{i>k}(a_i-b_i)10^{-i}.

左側至少為 $10^{-k}$ ，右側至多為

\sum_{i>k}9\cdot10^{-i} =10^{-k}.

所以兩界必同時取等號，迫使

b_k-a_k=1,

且對所有 $i>k$ ，

a_i=9, \qquad b_i=0.

因此存在共同前綴 $p$ 與 $e=a_k\le8$ ，使

a=p\,e\,\mathbf9, \qquad b=p\,(e+1)\,\mathbf0.

兩者正由一條基本進位邊相連。

情形二： $n=m+1$ 。

此時

\pi(a)-\pi(b)=1.

由 $0\le\pi(a),\pi(b)\le1$ ，必有

\pi(a)=1, \qquad \pi(b)=0.

又

1-\pi(a) =\sum_{i=1}^{\infty}(9-a_i)10^{-i}.

各項非負，所以 $\pi(a)=1$ 迫使 $a=\mathbf9$ ；同理 $\pi(b)=0$ 迫使 $b=\mathbf0$ 。故兩者由整數邊界進位相連。

情形三： $n=m-1$ 。

與情形二對稱，得到反向整數邊界進位。

三種情形窮盡全部可能，定理得證。

4.4 表示纖維分類

定義十進位有理數

\mathbb D_{10} =\left\{ \frac{z}{10^k} \ \middle|\ z\in\mathbb Z,\ k\in\mathbb N_0 \right\}.

由核定理得到

\left|\operatorname{Val}^{-1}(x)\right| = \begin{cases} 2,&x\in\mathbb D_{10},\\ 1,&x\notin\mathbb D_{10}. \end{cases}

所以普通十進位表示不存在三重歧義。

4.5 歧義點可數但稠密

$\mathbb D_{10}$ 可數但稠密於 $\mathbb R$ 。非單射點雖只佔可數集合，卻出現在任意鄰域及任意十進位尺度。 $0.999\ldots=1.000\ldots$ 不是孤例，而是跨尺度端點黏合規則的一個邊界實例。

五、進位圖與進位群胚

5.1 進位圖

令 $G_{\mathrm{car}}$ 的頂點為 $\mathsf{Rep}_{10}$ ，邊為非平凡基本進位對。由核定理，每個連通分量只有：

一個孤立頂點，對應唯一表示；
一條連接兩頂點的邊，對應十進位有理數的兩個表示。

5.2 等價關係群胚

定義群胚

\mathcal G_{10}

的物件集合為

\operatorname{Ob}(\mathcal G_{10}) =\mathsf{Rep}_{10},

態射集合為 kernel pair

\operatorname{Mor}(\mathcal G_{10}) =\mathsf{Rep}_{10} \times_{\mathbb R} \mathsf{Rep}_{10} =\{(r,r')\mid\operatorname{Val}(r)=\operatorname{Val}(r')\}.

5.3 結構映射

對箭頭 $(r,r')$ ，定義

s(r,r')=r, \qquad t(r,r')=r',

1_r=(r,r), \qquad (r,r')^{-1}=(r',r),

以及

(r',r'')\circ(r,r') =(r,r'').

同值關係的反身性、對稱性與傳遞性保證以上運算良定。

又因 $\mathbb R$ 為 Hausdorff 空間，

\operatorname{Mor}(\mathcal G_{10}) =(\operatorname{Val}\times\operatorname{Val})^{-1} (\Delta_{\mathbb R})

是 $\mathsf{Rep}_{10}^2$ 的閉子空間。賦予子空間拓樸後，source、target、逆映射與合成皆連續，因此 $\mathcal G_{10}$ 亦是一個拓樸群胚。

5.4 薄群胚與平凡 isotropy

對任意 $r,r'$ ，

\left|\operatorname{Hom}_{\mathcal G_{10}}(r,r')\right| \le1.

因此 $\mathcal G_{10}$ 是薄群胚，而且

\operatorname{Aut}_{\mathcal G_{10}}(r) =\{1_r\}.

群胚在此不是為了製造額外內部對稱，而是保存不同物件之間的局部可逆關係。

5.5 為何不直接使用單一群

集合層可以強行定義 $\mathbb Z_2$ 對合，交換每個二元素纖維並固定唯一表示。但它會讓每個唯一表示帶有人工穩定子，而且該全域對合不連續。

進位群胚只在確有另一個同值表示時加入箭頭，不替孤立表示虛構對稱，因此更忠實地記錄局部進位方向。

5.6 同構仍不是物件相等

在群胚中，

r_9\cong_{\mathcal G_{10}}r_{10}

表示存在可逆進位箭頭；它不把原始物件判定為字面相等。只有取軌道商後，才有

[r_9]=[r_{10}].

六、前綴樹上的拓樸組合黏合

6.1 柱集

對長度 $n$ 的字 $p\in D^n$ ，定義

C_p =\{p\,s\mid s\in D^{\mathbb N}\}.

在乘積拓樸中，每個 $C_p$ 都是開閉集，同層不同柱集互不相交。

6.2 柱集的數值像

把 $p$ 視為從 $0$ 到 $10^n-1$ 的 $n$ 位整數，記其值為 $j(p)$ 。則

\pi(C_p) =\left[ \frac{j(p)}{10^n}, \frac{j(p)+1}{10^n} \right].

表示空間中的互斥柱集，在數值空間中的像可於端點相交。

6.3 相鄰端點

若 $p_j,p_{j+1}$ 為第 $n$ 層相鄰字，則

\pi(p_j\mathbf9) =\frac{j+1}{10^n} =\pi(p_{j+1}\mathbf0).

進位箭頭正好把左柱集的右端表示與右柱集的左端表示相連。

6.4 每一層的交疊圖

第 $n$ 層有 $10^n$ 個柱集。商化後，其像區間的交疊圖是路徑圖

P_{10^n}: 0-1-2-\cdots-(10^n-1).

全部深度的黏合與前綴細分相容，共同把前綴樹邊界重建為線性區間。正確圖像不是唯一一條 $0.999\ldots\to1$ 邊，而是在每個尺度黏合相鄰柱集的稠密端點系統。

七、拓樸商：從全不連通表示到連通區間

7.1 局部緊核心

為同時保留 $0.999\ldots$ 與 $1.000\ldots$ ，取

X_{01} =\bigl(\{0\}\times D^{\mathbb N}\bigr) \cup \{(1,\mathbf0)\}.

限制求值得

q_{01}:X_{01}\to[0,1].

7.2 商映射定理

$D^{\mathbb N}$ 是有限離散空間的可數乘積，故為緊 Hausdorff 空間；加入一個孤立點後， $X_{01}$ 仍緊且 Hausdorff。

$q_{01}$ 連續且滿射，而 $[0,1]$ Hausdorff。故

q_{01}:X_{01}\twoheadrightarrow[0,1]

是閉映射及拓樸商映射。

7.3 商空間同胚

令

E_{01} =\{(r,r')\in X_{01}^2\mid q_{01}(r)=q_{01}(r')\}.

誘導映射

\overline q_{01}: X_{01}/E_{01} \longrightarrow [0,1]

是由緊空間到 Hausdorff 空間的連續雙射，因而是同胚：

\boxed{ X_{01}/E_{01} \cong_{\mathbf{Top}} [0,1] }.

7.4 核關係閉性

令 $\Delta_{[0,1]}$ 為對角線。因 $[0,1]$ Hausdorff，

E_{01} =(q_{01}\times q_{01})^{-1}(\Delta_{[0,1]})

是閉等價關係。非平凡進位邊在更深前綴處逼近對角線，其極限仍留在核關係內。

7.5 拓樸不變量改變

$D^{\mathbb N}$ 有開閉柱集基，因此零維且全不連通； $X_{01}$ 加一孤立點後仍然如此。另一方面， $[0,1]$ 連通且覆蓋維度為 $1$ 。因此商化確實造成

\text{全不連通} \longrightarrow \text{連通},

以及

\dim X_{01}=0 \longrightarrow \dim[0,1]=1.

這是嚴格的拓樸商重建，不是比喻。

7.6 尚不是物理相變

拓樸不變量改變支持「商化前後空間拓樸不同」，卻不自動蘊涵物理系統在時間中跨越臨界點。此處改變的是等價關係及觀察解析度。較精確名稱是：

進位等價所誘導的拓樸商重建。

八、範疇論：kernel pair 與餘等化子

8.1 kernel pair

對

q=\operatorname{Val}:\mathsf{Rep}_{10}\to\mathbb R,

其 kernel pair 為

K =\mathsf{Rep}_{10} \times_{\mathbb R} \mathsf{Rep}_{10},

帶有投影

p_1,p_2:K\rightrightarrows\mathsf{Rep}_{10}.

8.2 餘等化子

因

q\circ p_1=q\circ p_2,

$q$ 消去同一求值纖維內的表示差異。在集合範疇中，

K \mathrel{\substack{\xrightarrow{p_1}\\[-0.6ex]\xrightarrow[p_2]{}}} \mathsf{Rep}_{10} \xrightarrow{q} \mathbb R

是餘等化子圖。

8.3 泛性質

若

F:\mathsf{Rep}_{10}\to Y

滿足

F\circ p_1=F\circ p_2,

亦即在每個求值纖維上常值，則存在唯一

\overline F:\mathbb R\to Y

使

F=\overline F\circ q.

所以「函數與表示選擇無關」就是能否通過餘等化子下降的精確條件。

8.4 拓樸範疇中的下降

完整求值可由相鄰整數緊塊

B_m =\bigl(\{m\}\times D^{\mathbb N}\bigr) \cup \{(m+1,\mathbf0)\}

拼接；每個 $B_m\to[m,m+1]$ 都是商映射。因此 $q$ 在整條實線上也是商映射。若 $F$ 連續且在纖維上常值，唯一下降的 $\overline F$ 也連續。

更明確地，若 $q^{-1}(U)$ 開，則每個 $U\cap[m,m+1]$ 都在閉區間中相對開；這些區間構成局部有限覆蓋，故 $U$ 在 $\mathbb R$ 中開。

8.5 群胚與商的資訊差

$\mathcal G_{10}$ 保留哪些表示不同、哪些表示由箭頭相連，以及箭頭方向。軌道商只保留

\operatorname{Orb}(r) =\{r'\mid r'\sim_{\mathrm{car}}r\}.

取商是主動遺忘表示路徑的步驟。

九、集合截面與連續截面的分離

9.1 集合層可以選代表

在經典集合論中，可對十進位有理數選終止於 $0^\omega$ 的表示，對其他實數選唯一表示，得到

s_{\mathbf{Set}}:\mathbb R\to\mathsf{Rep}_{10}

使

q\circ s_{\mathbf{Set}} =\operatorname{id}_{\mathbb R}.

所以 $q$ 在 $\mathbf{Set}$ 中可分裂。

9.2 不存在全域連續截面

假設存在連續

s:[0,1]\to X_{01}

且

q_{01}\circ s =\operatorname{id}_{[0,1]}.

因 $[0,1]$ 連通， $s([0,1])$ 必連通；但 $X_{01}$ 全不連通，所以該像只能是單點，與合成為恆等映射矛盾。故

\boxed{ q_{01}\ \text{不存在連續截面} }.

同理， $\mathsf{Rep}_{10}$ 是全不連通空間而 $\mathbb R$ 連通，所以完整求值

q:\mathsf{Rep}_{10}\to\mathbb R

也不存在全域連續截面。

9.3 範疇改變答案

範疇	是否可選截面	原因
$\mathbf{Set}$	可以	可逐纖維選一個代表
$\mathbf{Top}$	不可連續地選	連通區間不能作為全不連通表示空間的 retract

因此，「能否選標準十進位表示」取決於要求保留哪一種結構。

9.4 無全域連續正規形

若存在連續、保值、冪等的正規化 $N:\mathsf{Rep}_{10}\to\mathsf{Rep}_{10}$ ，並在每個纖維恰留一個代表，則 $N$ 因在纖維上常值而經商映射下降，並產生完整求值的連續截面。上一節已證明不可能。

所以任何全域單值十進位正規化都必須犧牲連續性。

十、兩種進位方向與正規化算子

10.1 終止式正規化

定義集合層算子

N_0:\mathsf{Rep}_{10}\to\mathsf{Rep}_{10},

把最終為 $9^\omega$ 的表示換成同值、最終為 $0^\omega$ 的表示，並固定其餘表示。例如：

N_0(0,4999\ldots) =(0,5000\ldots),

N_0(0,9999\ldots) =(1,0000\ldots).

10.2 循環 $9$ 正規化

反向選擇定義

N_9:\mathsf{Rep}_{10}\to\mathsf{Rep}_{10},

把最終為 $0^\omega$ 的十進位有理表示換成同值、最終為 $9^\omega$ 的表示，並固定其餘表示：

N_9(0,5000\ldots) =(0,4999\ldots),

N_9(1,0000\ldots) =(0,9999\ldots).

10.3 冪等、保值但不同

有

N_0^2=N_0, \qquad N_9^2=N_9,

以及

\operatorname{Val}\circ N_0 =\operatorname{Val} =\operatorname{Val}\circ N_9.

但作為原始表示函數，

N_0\ne N_9.

10.4 方向改變表示軌跡

$N_0$ 沿「增加前位、尾端歸零」方向移動：

p\,e\,9^\omega \xrightarrow{N_0} p\,(e+1)\,0^\omega.

$N_9$ 沿逆方向移動：

p\,(e+1)\,0^\omega \xrightarrow{N_9} p\,e\,9^\omega.

兩條方向改變前綴、尾流與字典序位置，卻不改變實數指稱。

10.5 兩者都不連續

判定一條流是否「從某處開始永遠為 $9$ 」或「從某處開始永遠為 $0$ 」不能由任意固定長度前綴完成。每個有限全 $9$ 前綴既可延伸為 $9^\omega$ ，也可在更後面出現非 $9$ 數位。

因此 $N_0$ 與 $N_9$ 都不具有限前綴連續性；這也由無連續截面定理統一推出。

例如令

r_n=(0,4\,9^n\,8\,0^\omega).

則

r_n\longrightarrow(0,4\,9^\omega),

且 $N_0(r_n)=r_n$ ，所以

N_0(r_n)\longrightarrow(0,4\,9^\omega).

但

N_0(0,4\,9^\omega) =(0,5\,0^\omega),

故 $N_0$ 在該進位端點不連續； $N_9$ 的反向端點同理。

10.6 商後都成為恆等

兩算子都保值，故在商上誘導

\overline N_0,\overline N_9: \mathsf{Rep}_{10}/\!\sim_{\mathrm{car}} \to \mathsf{Rep}_{10}/\!\sim_{\mathrm{car}}.

對每個商類，

\overline N_0([r]) =[r] =\overline N_9([r]).

所以

\boxed{ \overline N_0 =\overline N_9 =\operatorname{id} }.

這是「表示軌跡不同、商後算子相同」的最小完整案例。

十一、商型別與高階歸納表達

11.1 原始型別

在型別論記號中，取

\mathsf{Digit}_{10} :=\mathsf{Fin}(10),

\mathsf{Stream}_{10} :=\mathbb N\to\mathsf{Digit}_{10},

\mathsf{RawRep}_{10} :=\mathbb Z\times\mathsf{Stream}_{10}.

再定義命題值關係

\mathsf{Car}: \mathsf{RawRep}_{10} \to \mathsf{RawRep}_{10} \to \mathsf{Prop},

其內容為進位等價。

11.2 set-quotient

定義

\mathsf{DecReal}_{10} :=\mathsf{RawRep}_{10}/\mathsf{Car}.

若用高階歸納型別表達，可給出：

點建構子

\eta: \mathsf{RawRep}_{10} \to \mathsf{DecReal}_{10};

進位路徑建構子

\mathsf{glue}: \prod_{r,r'} \mathsf{Car}(r,r') \to \bigl(\eta(r)=\eta(r')\bigr);

$0$-截斷建構子

\mathsf{isSet}(\mathsf{DecReal}_{10}),

使商型別中的任意兩條相等證明不再攜帶額外高階路徑資料。

11.3 原始不等與商中相等

在原始型別中，

(0,\mathbf9)\ne(1,\mathbf0).

但整數進位給出

\mathsf{Car}\bigl((0,\mathbf9),(1,\mathbf0)\bigr),

所以

\eta(0,\mathbf9) = \eta(1,\mathbf0).

這是商型別中的命題相等，不要求兩個原始項成為判斷上／定義上相等。

11.4 商消去原則

若要定義

f:\mathsf{DecReal}_{10}\to Y,

只需先定義

f_0:\mathsf{RawRep}_{10}\to Y

並證明

\prod_{r,r'} \mathsf{Car}(r,r') \to \bigl(f_0(r)=f_0(r')\bigr).

商消去原則便給出唯一的 $f$ 。這正是餘等化子泛性質的型別論版本。

11.5 求值下降

核定理保證存在

\overline{\operatorname{Val}}: \mathsf{DecReal}_{10}\to\mathbb R

滿足

\overline{\operatorname{Val}}(\eta(r)) =\operatorname{Val}(r).

它在集合層為雙射；賦予商拓樸後，亦為相應拓樸同構。

11.6 群胚化不等於集合商化

群胚保留進位箭頭；set-quotient 透過 $0$-截斷只保留軌道元素。即使本篇群胚是薄的，箭頭方向仍在取商後被遺忘。因此

\text{群胚化} \ne \text{集合商化}.

前者保存關係，後者建立商後同一性。

十二、多層等號判定表

12.1 等號光譜

層次	記號	判定內容	$0.999\ldots$ 與 $1.000\ldots$
字面字串	$=_{\mathrm{text}}$	字元是否完全相同	不同
原始表示	$=_{\mathsf{Rep}}$	整數標籤與流是否相同	不同
流行為	$=_{\mathrm{stream}}$	每一小數位是否相同	不同
進位鄰接	$\leftrightarrow_{\mathrm{car}}$	是否有一步基本進位邊	相連
進位等價	$\sim_{\mathrm{car}}$	是否在同一進位類	等價
群胚關係	$\cong_{\mathcal G_{10}}$	是否有可逆進位箭頭	同構
商型別	$=_{\mathsf{quot}}$	商類／商路徑是否相同	相等
實數求值	$=_{\mathbb R}$	求值是否相同	都等於 $1$
物理載體	$=_{\mathrm{phys}}$	實際記錄狀態是否同一	不由求值決定

12.2 標準記法隱去了哪些箭頭

若 $0.999\ldots$ 已被約定為實數記號，那麼

0.999\ldots=1

就是 $\mathbb R$ 內的普通等號。完整展開其實是

(0,\mathbf9) \xrightarrow{\eta} [(0,\mathbf9)] \xrightarrow{\overline{\operatorname{Val}}} 1.

日常記法省略了商投影及求值強制轉型。

12.3 所謂 GAP 常是隱藏強制轉型

若把 $0.999\ldots$ 保持為原始流，右側 $1$ 卻當成實數，則兩端型別尚未對齊。正確補法不是尋找最後一個進位步驟，而是寫

\operatorname{Val}(0,\mathbf9)=1

或

[(0,\mathbf9)]=[(1,\mathbf0)].

因此，部分爭議感受到的「證明間隙」其實是表示型別到商型別／數值型別的箭頭被慣例隱去。

十三、計算、有限觀察與選擇限制

13.1 無固定有限前綴判定

對任意 $n$ ，一條以 $9^n$ 開始的流既可延伸為 $9^\omega$ ，也可在更後方出現 $8$ 。所以「從現在起永遠為 $9$ 」不是任何固定長度前綴可決定的性質。

13.2 明確餘遞歸流仍可有限證明

若流由

s=9::s

給出，可用 bisimulation 有限證明

s=_{\mathrm{stream}}9^\omega.

「沒有統一有限觀察判定器」與「某個明確規格有有限證明」不可混同。

13.3 實數等號的計算限制

對任意輸入流，求值相等一般不能靠先讀取某個預先固定的有限前綴後總是正確決定。進位邊界使結論可能被尚未讀取的尾端推翻。

這是十進位表示作為精確計算介面的拓樸限制，不是古典實數等號失去真值。

13.4 不需要數位自動演化

進位群胚是靜態關係結構；正規化算子是選擇箭頭方向的演算法規格。兩者都不要求未被計算的數位在物理時間中自行生成。

十四、表示算子如何下降到數值算子

14.1 下降條件

令

F:\mathsf{Rep}_{10}\to\mathsf{Rep}_{10}.

它能誘導商算子 $\overline F$ ，當且僅當

r\sim_{\mathrm{car}}r' \quad\Longrightarrow\quad F(r)\sim_{\mathrm{car}}F(r').

14.2 群胚函子條件

上述條件等價於 $F$ 可把進位箭頭送到進位箭頭，因而提升為端函子

F:\mathcal G_{10}\to\mathcal G_{10}.

只在原始表示上寫出規則，卻不證明它保持求值核，便不能保證它定義實數上的良好算子。

14.3 realizer 方程

若存在

f:\mathbb R\to\mathbb R

使

\operatorname{Val}\circ F =f\circ\operatorname{Val},

則 $F$ 是 $f$ 的一個表示實現。此方程自動保證 $F$ 尊重進位等價。

14.4 不同表示算子可下降為同一算子

已有

N_0\ne N_9

但

\overline N_0 =\overline N_9 =\operatorname{id}.

兩個正規化在每個求值纖維上各自常值，故都可提升為 $\mathcal G_{10}$ 的端函子：它們把同一纖維內的箭頭送到所選代表的恆等箭頭。

此處說的是抽象群胚上的端函子。因 $N_0$ 與 $N_9$ 不連續，它們不是拓樸群胚範疇中的連續端函子。

對每個 $r$ ，又有唯一箭頭

N_0(r)\longrightarrow N_9(r).

這些分量自動滿足自然性，故給出端函子間的自然同構

N_0\cong N_9.

14.5 算子也有多層等號

本例同時有

N_0\ne_{\mathrm{raw}}N_9,

N_0\cong_{\mathrm{nat}}N_9,

\overline N_0 =_{\mathrm{quot}} \overline N_9.

未來的算子本體論不能只問「兩算子是否相等」，還須指明比較的是原始實作、群胚上的自然同構類，還是商後指稱算子。

十五、這一商化是否可以稱為相變

15.1 已有可證不變量改變

本篇確實證明

X_{01} \twoheadrightarrow X_{01}/E_{01} \cong[0,1]

前後連通性與維度不同。因此在純拓樸意義下，結構變化可被精確辨認。

15.2 改變的是同一性準則

商化的控制動作不是時間演化，而是把判定關係從

=_{\mathsf{Rep}}

切換為

\sim_{\mathrm{car}}.

允許進位端點被識別後，原本分離的柱集在商中連接。

15.3 限定名稱

若保留「相變」語彙，較精確說法是：

由等價關係切換所誘導的商拓樸相變。

它仍不同於物理熱力學相變，也不同於某個數值軌道在最後時刻跳躍。它描述觀察範疇及同一性準則改變後，商空間不變量發生變化。

十六、核心命題整理

命題一：原始表示分離

(0,9^\omega) \ne_{\mathsf{Rep}} (1,0^\omega).

命題二：基本進位保值

\operatorname{Val}(m,p\,e\,9^\omega) =\operatorname{Val}(m,p\,(e+1)\,0^\omega).

命題三：求值核完備

r\sim_{\mathrm{car}}r' \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Val}(r)=\operatorname{Val}(r').

進位關係窮盡普通十進位的同值歧義。

命題四：纖維二值

每個實數有一或兩個普通十進位表示；兩個表示恰發生於 $x\in\mathbb D_{10}$ 。

命題五：薄群胚

$\mathcal G_{10}$ 是薄等價關係群胚，其軌道正是求值纖維。

命題六：商同胚

X_{01}/E_{01} \cong_{\mathbf{Top}} [0,1].

命題七：拓樸重建

進位商把零維全不連通表示空間商成一維連通區間。

命題八：無連續截面

q_{01}:X_{01}\to[0,1]

不存在全域連續截面，故不存在全域連續單代表正規化。

命題九：餘等化子

求值映射是其 kernel pair 的餘等化子；表示不變函數恰為可唯一下降到商的函數。

命題十：商型別路徑

\eta(0,9^\omega) = \eta(1,0^\omega),

但原始項並非定義相等。

命題十一：正規化方向

$N_0$ 與 $N_9$ 是不同、保值、冪等且不連續的原始表示算子。

命題十二：算子下降同一

N_0\ne N_9, \qquad N_0\cong_{\mathrm{nat}}N_9, \qquad \overline N_0=\overline N_9=\operatorname{id}.

十七、研究邊界

第一，本文處理普通位置十進位，不把浮點格式、捨入模式或有限機器精度混入同一關係。

第二，本文群胚是求值核形成的薄等價關係群胚，不是基本群胚，也不聲稱具有非平凡 holonomy 或 isotropy。

第三，本文不使用表示論把群胚線性化；群胚只保存局部可逆進位關係。表示論留待確有線性作用對象時再引入。

第四，本文的 set-quotient 取 $0$-截斷，不研究進位群胚的高階同倫商或堆疊化。

第五，無連續標準十進位選擇不否定在局部、部分定義或冗餘數位系統中建立連續 realizer。

第六，「商拓樸相變」是限定的數學用語，不等同物理時間演化相變。

第七，本文只建立算子下降框架，不在此提出完整算子本體論公理。

十八、結論

$0.999\ldots$ 與 $1.000\ldots$ 的關係可以完整拆成：

(0,9^\omega) \ne_{\mathsf{Rep}} (1,0^\omega),

(0,9^\omega) \sim_{\mathrm{car}} (1,0^\omega),

(0,9^\omega) \cong_{\mathcal G_{10}} (1,0^\omega),

[(0,9^\omega)] = [(1,0^\omega)],

以及

\operatorname{Val}(0,9^\omega) = \operatorname{Val}(1,0^\omega) =1.

第一行保存原始表示差異；第二行給出進位等價；第三行保留可逆箭頭；第四行取商後建立同一元素；第五行表達實數指稱相等。

核定理說明，這不是針對 $0.999\ldots$ 的特別規定：

\ker(\operatorname{Val}) =\sim_{\mathrm{car}}.

所有普通十進位的非唯一性都由同一種尾端 $9^\omega/0^\omega$ 進位窮盡。從前綴樹看，這些邊在每個尺度黏合相鄰柱集；從拓樸看，商化把全不連通表示空間重建為連通區間；從範疇論看，求值是 kernel pair 的餘等化子；從型別論看，進位關係經 set-quotient 生成商中的命題相等。

最精確的總結不是「 $0.999\ldots$ 原來就是同一串 $1.000\ldots$ 」，而是：

兩者是不同表示型別中的不同物件，是進位群胚中可逆相關的物件，是商型別中的同一元素，並在實數求值下具有同一指稱。

最後，方向相反的正規化算子 $N_0$ 與 $N_9$ 揭示下一階段的核心問題：原始算子可以不同，群胚上可以自然同構，下降到商後又可完全相同。算子本體論若不先標記這三層，就會再次把表示、關係與指稱壓成一個無標記等號。

附錄 A：任意基數 $b$ 的一般化

令

b\ge2, \qquad D_b=\{0,1,\ldots,b-1\}.

定義

\mathsf{Rep}_b =\mathbb Z\times D_b^{\mathbb N},

\operatorname{Val}_b(m,s) =m+\sum_{k=1}^{\infty}s_kb^{-k}.

基本進位邊為

(m,p\,e\,(b-1)^\omega) \longleftrightarrow (m,p\,(e+1)\,0^\omega),

其中 $0\le e\le b-2$ 。因

\sum_{i=k+1}^{\infty}(b-1)b^{-i} =b^{-k},

每條進位邊保持求值。首個差異位證明給出

r\sim_{\mathrm{car},b}r' \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Val}_b(r)=\operatorname{Val}_b(r').

非唯一表示點為

\mathbb D_b =\left\{ \frac{z}{b^k} \ \middle|\ z\in\mathbb Z,\ k\in\mathbb N_0 \right\}.

因此

0.\overline{(b-1)}_{\,b} =1.000\ldots_b

是任意整數基數位置記數法的共同商化現象。

附錄 B：關係、群胚與商

B.1 核關係

E =\{(r,r')\mid\operatorname{Val}(r)=\operatorname{Val}(r')\}.

它回答哪些表示同值。

B.2 核群胚

\mathcal G_{10} =\bigl(E\rightrightarrows\mathsf{Rep}_{10}\bigr).

它把每個同值對提升為可逆箭頭。

B.3 軌道商

\mathsf{Rep}_{10}/E =\{[r]\mid r\in\mathsf{Rep}_{10}\}.

它忘掉纖維內部表示，只保留每個軌道一個商元素。

三者分別是：關係、帶箭頭的關係、關係的同一化結果。

附錄 C：符號表

符號	含義
$D$	十進位數位集合 $\{0,\ldots,9\}$
$D^{\mathbb N}$	無限十進位小數流空間
$\mathbf0$	全 $0$ 流 $0^\omega$
$\mathbf9$	全 $9$ 流 $9^\omega$
$\mathsf{Rep}_{10}$	完整表示空間 $\mathbb Z\times D^{\mathbb N}$
$\pi$	小數流求值到 $[0,1]$
$\operatorname{Val}$	完整十進位表示的實數求值
$\leftrightarrow_{\mathrm{car}}$	一步基本進位鄰接
$\sim_{\mathrm{car}}$	由進位邊生成的等價關係
$\mathbb D_{10}$	十進位有理數集合
$K$	求值映射的 kernel pair
$\mathcal G_{10}$	十進位進位等價關係群胚
$C_p$	以前綴 $p$ 開始的柱集
$X_{01}$	同時含 $0.s$ 與 $1.0^\omega$ 的局部表示核心
$E_{01}$	$q_{01}$ 的核等價關係
$q_{01}$	$X_{01}$ 到 $[0,1]$ 的商求值映射
$N_0$	選擇終止 $0$ 表示的正規化
$N_9$	選擇循環 $9$ 表示的正規化
$\eta$	原始表示到商型別的投影建構子
$\mathsf{DecReal}_{10}$	進位等價的 set-quotient
$\overline F$	表示算子 $F$ 下降後的商算子

參考文獻

Brouwer, L. E. J. “Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung?.” Mathematische Annalen, 83, 1921, 201–210.
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Brown, R. “From Groups to Groupoids: A Brief Survey.” Bulletin of the London Mathematical Society, 19, 1987, 113–134.
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Awodey, S., & Bauer, A. “Introduction to Categorical Logic.” Draft lecture notes, 2024. 特別參見 kernel pair、kernel quotient 與 regular epimorphism。
Riehl, E. “Category Theory in Context.” Dover Publications, 2016.
The Univalent Foundations Program. “Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics.” Institute for Advanced Study, 2013. 特別參見 §6.10 的 set-quotient 及其餘等化子泛性質。
Cavallo, E., & Harper, R. “Higher Inductive Types in Cubical Computational Type Theory.” Proceedings of the ACM on Programming Languages, 3(POPL), 2019.

文件資訊

文件類型： 拓樸組合學／群胚論／範疇論／型別論論文
版本： v1.0
日期： 2026-07-11
狀態： 可獨立閱讀之公開研究草稿
系列位置： 「十進位邊界與算子本體論」系列之三
前篇一： 《從歸納到餘歸納：十進位前綴樹、終餘代數與無限數位流》
前篇二： 《不到達而完成：有向上確界、Scott 拓樸與十進位收縮算子的最小固定點》
後續總論： 《生成、展開、完成與同一化：從十進位邊界到算子本體論》

表示不同指稱同一_十進位進位群胚商型別與多層等號