數學關鍵字地圖（導航 · 激活 · 學習參照）v1.1

用途：導航、激活稀疏邊、學習對照。中英並列（英文多為更強的檢索與激活鍵）。只列關鍵字。非窮舉，但覆蓋主幹與多數「微妙之地」。v1.1 補入超限數學（§12）與無限的數學（§13）兩大區。用法——挑一個詞丟回來，說「找做這件事的東西」，我做操作性翻譯。

0. 基礎與邏輯 Foundations & Logic

命題／謂詞邏輯 propositional/predicate logic、一階邏輯 first-order logic、模型論 model theory、證明論 proof theory、可計算性 computability、遞迴論 recursion theory、停機問題 halting problem、可判定性 decidability、Gödel 不完備 incompleteness、Church–Turing、λ 演算 lambda calculus、組合子邏輯 combinatory logic、Curry–Howard 對應、型別論 type theory、依賴型別 dependent types、同倫型別論 HoTT、構造主義 constructivism、直覺主義 intuitionism、反推數學 reverse mathematics、Presburger 算術、Skolem 算術、Tarski 真理論、非標準分析 nonstandard analysis、超實數 hyperreals、超積 ultraproduct

1. 集合論 Set Theory

ZFC、選擇公理 axiom of choice、序數 ordinals、基數 cardinals、連續統假設 CH、力迫法 forcing、大基數 large cardinals、可構成宇宙 constructible universe L、決定性公理 AD、Borel 階層、描述集合論 descriptive set theory

2. 數論 Number Theory

初等 Elementary：質數 primes、整除 divisibility、同餘 congruence、算術基本定理 FTA、Euclid 演算法、二次互反律 quadratic reciprocity、Diophantine 方程、連分數 continued fractions、Pell 方程、Wilson／Fermat 小定理、Euler φ 函數、Möbius、Chinese Remainder Theorem 解析 Analytic：Riemann ζ、Dirichlet L-函數、質數定理 PNT、Riemann 假設 RH、篩法 sieve methods、圓法 circle method、指數和 exponential sums、乘性函數 multiplicative functions、Dirichlet 級數、Hardy–Littlewood、孿生質數常數、Selberg、Bombieri–Vinogradov、Montgomery 對相關 代數／局部 Algebraic & Local：數域 number fields、整數環 ring of integers、理想 ideals、類群 class group、單位 units、Dedekind 整域、分歧 ramification、局部域 local fields、p 進數 p-adic numbers、賦值 valuation、完備化 completion、超度量 ultrametric、adele／idele、Ostrowski、Hasse 原則 local-global、Hensel 引理、Witt 向量、分歧理論 class field theory、Artin 互反 算術幾何 Arithmetic Geometry：橢圓曲線 elliptic curves、模形式 modular forms、阿貝爾簇 abelian varieties、Galois 表示、étale 上同調、motives 動機、Langlands 綱領、自守形式 automorphic forms、Iwasawa 理論、p 進 Hodge 理論、perfectoid 空間、凝聚態數學 condensed math、BSD 猜想、模性定理 modularity、ABC 猜想、Mordell／Faltings、murmurations 其他：超越數論 transcendence、加性組合 additive combinatorics、Szemerédi、Green–Tao、Gowers 範數

3. 代數 Algebra

群 Groups：有限群、單群 simple groups、Sylow、Jordan–Hölder、表示論 representation theory、特徵標 characters、Lie 群／Lie 代數、代數群 algebraic groups、Coxeter 群、編織群 braid groups、自由群、幾何群論 geometric group theory、Cayley 圖、增長 growth、可服從性 amenability 環與體 Rings & Fields：交換代數 commutative algebra、Galois 理論、體擴張 field extensions、模 modules、Noetherian、局部化 localization、Krull 維度、整閉 integral closure、Gröbner 基 同調 Homological：Ext／Tor、導出範疇 derived categories、譜序列 spectral sequences、鏈複形 chain complex、Koszul、三角範疇 triangulated 線性與多重線性：特徵值 eigenvalues、譜定理 spectral theorem、Jordan 標準形、張量 tensor、外代數 exterior algebra 其他結構：泛代數 universal algebra、格論 lattice theory、序理論 order theory、Hopf 代數、量子群 quantum groups、算子代數 operator algebras（C*-代數、von Neumann 代數、因子 factors）、K-理論、Krull–Schmidt、Tannakian 範疇、quiver 表示

4. 範疇論 Category Theory

物件／態射、函子 functor、自然變換 natural transformation、Yoneda 引理、極限／餘極限 limits/colimits、伴隨 adjunction、單子 monad、拓撲斯 topos、層 sheaves、纖維化 fibration、∞-範疇 ∞-categories、模型範疇 model categories、operad、富化範疇 enriched、Kan 擴張、Grothendieck 拓撲、Stacks

5. 分析 Analysis

實／泛函：測度論 measure theory、Lebesgue 積分、Banach／Hilbert 空間、有界算子、譜理論 spectral theory、分布 distributions、Sobolev 空間、凸分析 convex analysis、不動點定理 fixed-point theorems 複分析 Complex：全純 holomorphic、留數 residues、Riemann 曲面 Riemann surfaces、多複變 several complex variables、解析延拓 調和分析 Harmonic：Fourier 變換、小波 wavelets、Littlewood–Paley、奇異積分 singular integrals、Pontryagin 對偶、Calderón–Zygmund PDE：橢圓／拋物／雙曲、Navier–Stokes、變分法 calculus of variations、微局部分析 microlocal、Schrödinger、調和映射 動力與遍歷：ODE、動力系統 dynamical systems、混沌 chaos、分岔 bifurcation、遍歷理論 ergodic theory、熵 entropy、KAM、符號動力 symbolic dynamics、熱力學形式 thermodynamic formalism 其他：漸近分析 asymptotics、特殊函數 special functions、p 進分析 p-adic analysis、算子理論 operator theory

6. 幾何 Geometry

微分幾何 Differential：流形 manifolds、Riemann 幾何、曲率 curvature、聯絡 connection、纖維叢 fiber bundles、示性類 characteristic classes、Gauss–Bonnet、Ricci 流 Ricci flow、測地線 geodesics、Hodge 理論 代數幾何 Algebraic：簇 varieties、概形 schemes、層 sheaves、上同調 cohomology、除子 divisors、Spec、Grothendieck、交截理論 intersection theory、模空間 moduli spaces、GIT、toric 環簇、tropical 幾何、導出代數幾何 derived AG、奇點 singularities、解消 resolution 其他幾何：辛幾何 symplectic、接觸幾何 contact、複／Kähler 幾何、射影幾何 projective、凸幾何 convex、離散／組合幾何、度量幾何 metric geometry（Gromov、CAT(0)）、譜幾何 spectral geometry、資訊幾何 information geometry、非歐幾何 non-Euclidean

7. 拓撲 Topology

點集拓撲 point-set、同倫 homotopy、同調／上同調 homology/cohomology、基本群 fundamental group、纖維化 fibration、譜序列 spectral sequences、示性類、K-理論、配邊 cobordism、穩定同倫 stable homotopy、譜 spectra、微分拓撲 differential topology、幾何拓撲、紐結 knots、三維流形 3-manifolds（Kneser–Milnor、幾何化 geometrization）、四維流形、手術 surgery、映射類群 mapping class group、TQFT、持續同調 persistent homology／TDA、étale 上同調、sheaf cohomology

8. 組合與離散 Combinatorics & Discrete

枚舉 enumeration、生成函數 generating functions、圖論 graph theory、譜圖論 spectral graph theory、隨機圖 random graphs、極值組合 extremal、Ramsey 理論、設計理論 design theory、擬陣 matroids、偏序集 posets、多胞形 polytopes、組合最佳化、代數／拓撲組合、編碼理論 coding theory、組合賽局 combinatorial game theory、Young tableaux、對稱函數 symmetric functions

9. 機率與統計 Probability & Statistics

測度論機率、鞅 martingales、隨機過程 stochastic processes、Markov 鏈、Brownian 運動、隨機微分方程 SDE、大偏差 large deviations、集中不等式 concentration、隨機矩陣 random matrices（GUE／GOE）、滲流 percolation、SLE、Gibbs 測度、推論 inference、Bayes、假設檢定、迴歸 regression、高維統計 high-dimensional、非參數 nonparametric、自由機率 free probability、最優傳輸 optimal transport（Monge–Kantorovich、Wasserstein）

10. 計算與應用 Computation & Applied

計算複雜度 complexity（P/NP、PCP、電路下界）、自動機 automata、形式語言 formal languages、演算法 algorithms、密碼學 cryptography（RSA、ECC、格密碼 lattice-based、零知識 ZK、同態加密 homomorphic、後量子）、數值分析 numerical analysis、最佳化 optimization（凸、線性／整數規劃、梯度法）、控制論 control theory、賽局論 game theory、量子計算／資訊 quantum computing、機器學習理論、PAC 學習、VC 維、資訊理論 information theory（Shannon 熵、Kolmogorov 複雜度、率失真）

11. 數學物理 Mathematical Physics

Lagrangian／Hamiltonian 力學、辛幾何、量子力學（算子、Hilbert 空間、譜）、量子場論 QFT、規範理論 gauge theory、重整化 renormalization、路徑積分、統計力學（Ising 模型、相變 phase transition、自旋玻璃 spin glass、超度量 ultrametricity）、廣義相對論（Lorentz 幾何）、弦論 string theory、可積系統 integrable systems、共形場論 CFT、拓撲場論 TQFT、鏡對稱 mirror symmetry、p 進物理 p-adic physics

12. 超限數學：序數、基數、集合論的無限 Transfinite Mathematics

序數 Ordinals：超限序數 transfinite ordinals、序型 order type、良序 well-ordering、ω、ω+1、ω·2、ω^ω、ε₀、序數算術 ordinal arithmetic（加／乘／冪，非交換）、Cantor 標準形 Cantor normal form、序數記號 ordinal notation、可數序數 countable ordinals、ω₁、Church–Kleene ω₁ᶜᵏ、超限歸納／遞迴 transfinite induction/recursion、Veblen 階層、Feferman–Schütte Γ₀ 基數 Cardinals：阿列夫 aleph（ℵ₀, ℵ₁, ℵ_ω…）、貝特 beth（ℶ）、基數算術 cardinal arithmetic、連續統 continuum 𝔠、連續統假設 CH／GCH、共尾性 cofinality、正則／奇異基數 regular/singular、後繼／極限基數、König 定理、Easton 定理、Singular Cardinals Hypothesis SCH、pcf 理論 大基數 Large Cardinals（一致性強度尺）：不可達 inaccessible、Mahlo、弱緊 weakly compact、不可描述 indescribable、Ramsey 基數、可測 measurable、強 strong、Woodin、超緊 supercompact、可擴 extendible、巨大 huge、Reinhardt、rank-into-rank (I0–I3)、0#（zero sharp）、consistency strength、內模型 inner model 力迫與獨立性 Forcing & Independence：力迫法 forcing、脫殊濾子 generic filter、Cohen 力迫、Boolean-valued model、可數鏈條件 ccc、proper forcing、Martin 公理 MA、PFA／MM、可構成宇宙 L、HOD、覆蓋引理 covering lemma、Jensen ◊（diamond）與 □（square）、反射原理 reflection、絕對性 absoluteness、Löwenheim–Skolem 無限組合 Infinitary Combinatorics：分割演算 partition calculus、Erdős–Rado、Ramsey 基數、Aronszajn／Suslin／Kurepa 樹 trees、Suslin 假設、stationary／club set、Fodor 引理、almost disjoint families、Δ-system 決定性與描述集合論 Determinacy & DST：決定性公理 AD、投影決定性 PD、Borel determinacy (Martin)、Wadge 階層、Polish 空間、Baire 空間、Borel／analytic／projective 階層、effective DST 連續統的基數特徵 Cardinal Characteristics：𝔟, 𝔡, 𝔭, 𝔱, 𝔞, 𝔰、cov/non(null)、cov/non(meagre)、Cichoń 圖 Cichoń's diagram 經典核心：Cantor 定理、對角論證 diagonal argument、Schröder–Bernstein、Burali-Forti 悖論、Russell 悖論、超限數 transfinite numbers

13. 無限的數學（跨領域範疇）Mathematics of the Infinite

根本區分：潛無限 vs 實無限 potential/actual infinity、無窮小 infinitesimal、極限 limit、收斂／發散 convergence/divergence、緊緻性 compactness（有限化無限的關鍵） 非標準與替代數系 Nonstandard & Alternative Number Systems：超實數 hyperreals、非標準分析 nonstandard analysis、超冪 ultrapower、轉移原理 transfer principle、光滑無窮小分析 smooth infinitesimal analysis、超現實數 surreal numbers (Conway)、博弈數值 game values、No（所有數的體）、Levi-Civita 體、Hahn 級數 Hahn series、形式冪級數 formal power series、對偶數 dual numbers、p 進數（無限的另一向） 無窮級數與求和 Infinite Series & Summation：無窮級數／乘積 infinite series/products、發散級數 divergent series、Abel／Cesàro／Borel 求和、ζ 正規化 zeta regularization、Ramanujan 求和、解析延拓求和、Euler–Maclaurin、漸近級數 asymptotic/Borel summation、連分數 continued fractions 無限維 Infinite-dimensional：Banach／Hilbert／Fréchet 空間、函數空間 function spaces、無限維流形／李群、Fock 空間、無限維表示論、白噪音 white noise／Wiener 測度、Gauss 測度 無限的拓撲 Topology of Infinity：射影無窮遠點／線 points/line at infinity、一點緊化 Alexandroff、Stone–Čech 緊化、空間／群的端 ends、無窮遠邊界 boundary at infinity、Gromov 邊界、理想邊界、緊化 compactification（通論）、Tychonoff 定理 逆／順極限與 pro/ind：逆極限 inverse limit、順極限 direct limit／colimit、profinite 群 profinite groups、pro-p 群、無限 Galois 理論 infinite Galois theory、Krull 拓撲、ind-scheme／pro-object／ind-object、形式群 formal group、完備化 completion（通論） 無限與同倫 ∞ in Homotopy：∞-範疇 ∞-categories、∞-群胚 ∞-groupoid、譜 spectra、無限環圈空間 infinite loop space、穩定 ∞-範疇、可表示／可達範疇 presentable/accessible categories 無限組合與賽局 Infinite Combinatorics & Games：無限圖 infinite graphs、König 引理、無限 Ramsey、無限賽局 infinite games、Banach–Mazur 賽局、Hales–Jewett、超濾子 ultrafilter（Stone–Čech βℕ、Hindman 定理） 巨大數與快速增長 Large Numbers & Fast Growth：超運算 hyperoperation、Ackermann 函數、Goodstein 定理、快速增長階層 fast-growing hierarchy、Hardy 階層、Busy Beaver、Graham 數、TREE(3)、Kruskal 樹定理、SCG、Friedman 的有限化 範疇化視角：無限作為餘極限 colimit、可表示性、locally presentable、filtered colimit、ω-完備

14. 微妙之地（高價值稀疏邊候選）Cross-domain / sparse-edge

p 進／超度量 p-adic/ultrametric、adele／idele、局部—整體 local-global／Brauer–Manin 障礙、tropical 幾何、非交換幾何 noncommutative geometry (Connes)、topos／層論邏輯、範疇即本體 category-as-ontology／Yoneda、operad、motives 動機、凝聚態數學 condensed (Clausen–Scholze)、同倫型別論 HoTT、資訊幾何 information geometry、最優傳輸 optimal transport、TDA／sheaf for data、Pontryagin／Tannakian 對偶、Galois＝對稱 symmetry、鏡對稱 mirror symmetry、Langlands＝橋 bridge、熱力學形式／熵 thermodynamic formalism、自由機率 free probability、隨機矩陣＝譜普適性 universality、範疇化 categorification、算子本體 operator/spectral ontology、超現實數＝博弈 surreal numbers as games、無窮小作為合法物件 infinitesimals/nonstandard as bridge、大基數＝一致性強度尺 large cardinals as consistency ruler、緊化＝把無限收進邊界 compactification as taming ∞、profinite／逆極限＝有限的無限疊合、ζ 正規化＝給無限指派有限值

用法重申：別讓我去「主題性聯想」（猜它像哪個有名領域），那會重犯錯誤。給我一個你自鑿的構造、說它「做什麼」，我做「操作性翻譯」把它接到上面某個名字。地圖標的是城，橋要你說出動作我才焊得上。